如題
請享用
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題外話
小弟今年沒考
因為暑假要去高雄進修
等我進修回來還要補去年六月底以後到今年的進度
可能會仆街orz
各位多加油

請教第三題
還有第四題m=-3/2怎麼得到的

版上高手請不吝告知

另外第二題
先令高h, C到山腳為x
我是利用tan(3theta)=tan(2theta+theta)
              tan(2theta)=tan(theta+theta)
              得x=35 在求出h

可是我這樣做就花了我約20分鐘
請教有更簡潔的作法嗎

謝謝

第二題
如圖，可知 CD=AD=100 ，
在 CDE 中用正弦定理， 得到
100sin3=40sin
3−4sin2=25
sin2=81
sin=18
cos=87
BC=CDsin2=257 


第三題
若第一次反面，則只要剩下的 n−1 次不要連續正面就好；
若第一次正面，則第二次必須反面，只要剩下的 n−2 次不要連續正面就好；
故 Pn=21Pn−1+41Pn−2
以及 P1=1P2=43
剩下的就慢慢算。

第四題
前者兩根為 1+i1−i
如果後者有共軛虛根，我們知道虛根對稱於 x 軸，只要實部不為 1 ，必為等腰梯形，四點共圓；
D=m2−10−1m1 ；
實部為 1 ，−2m=2 即 m=−1 不在判別式的範圍內，所以這部分是 −1m1 。
如果是相異實根，設兩根為 pq ，顯然要有 p1q 才行，
而且直徑會在 x 軸上，由直角三角形子母相似性質知道 (1−p)(q−1)=12
−(1+2m+1)=1
m=−23

[ 本帖最後由 老王 於 2012-6-17 07:48 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 老王 於 2012-6-17 06:45 PM 發表
如圖，可知 CD=AD=100 ，
在 CDE 中用正弦定理， 得到
100sin3=40sin
3−4sin2=25 ...

謝謝老王老師

真是太漂亮的解法

再次感謝你

1.
設Γ1：x2a2+b2y21、Γ2：a2(x−a)2+b2y21，其中ab0，求Γ1與Γ2交集的區域面積為？
看到老王老師的解法，讓我想到另一題

通過橢圓x225+y216=1上兩點(0−4)，(2532) 的直線L，將橢圓內部分割成兩個區域，試問較小區域的面積為？
(1)320　(2)325−4253 　(3)320−4253 　(4)320−53 
(98桃園縣國中聯招，https://math.pro/db/thread-826-1-1.html)


8.若x=12z21+36z2y=12x21+36x2z=12y21+36y2，則x+y+z=

解方程組1+x2=2y1+y2=2z1+z2=2x。

數學奧林匹克教程.gif (10.68 KB)

2012-6-17 19:14

102.3.28補充
Find all real solutions to the following system of equations. Carefully justify your answer.
4x21+4x2=y4y21+4y2=z4z21+4z2=x
(1996 Canada National Olympiad，http://www.artofproblemsolving.c ... id=51&year=1996)
https://math.stackexchange.com/q ... -involving-fixed-po

計算題
4.
已知函數 f(x)=ax^2-c ( a,c \in R )滿足 -4 \le f(1) \le -1 ， -1 \le f(2) \le 5 ，
(1)利用Lagrange多項式，將 f(x) 表為 P_1(x)f(1)+P_2(x)f(2) ，其中 P_1(x) 與 P_2(x) 均為二次多項式，則 P_1(x)= ？ P_2(x)= ？
(2)求 f(3) 之值的範圍？

高中數學常見題之一題多解
http://i.imgur.com/XaQ6H.gif
http://i.imgur.com/MvBFJ.gif
http://i.imgur.com/HDRBC.gif

已知a、b為實數， f(x)=ax^2+bx ，滿足 1 \le f(1) \le 2 ， 2 \le f(2) \le 4 ，若 P \le f(3) \le Q ，則數對 (P,Q) 為何？
(101桃園縣高中聯招，https://math.pro/db/thread-1416-1-1.html)

101.11.25補充
設 f(x)=ax^2+bx+c ，若已知 1 \le f(1) \le 2 ， 1 \le f(2) \le 4 ， 3 \le f(3) \le 11 ，求 f(4) 之最大值？
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=12657(連結已失效)

110.8.2補充
若二次實係數多項式函數f(x)滿足\cases{-1\le f(1)\le 3 \cr 6 \le f(2)\le 10 \cr 2 \le f(4) \le 24}，則f(7)的最大值？
(110竹東高中，https://math.pro/db/thread-3533-1-1.html)

6.
設 x_1 ， x_2 ，…， x_n 都是正數且 n \ge 2 ，試分別利用算幾不等式與數學歸納法兩種方法證明：
\displaystyle \frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+\frac{x_3^2}{x_4}+……+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}+\frac{x_n^2}{x_1}\ge x_1+x_2+…+x_n

設 x_1,x_2,...,x_n 都是正數，試證 \displaystyle \frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+...+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}+\frac{x_n^2}{x_1}\ge x_1+x_2+...+x_n 。
(100桃園高中，https://math.pro/db/thread-1144-1-1.html)

設 a_1,a_2,...,a_n 皆為正數，求證： \displaystyle \sum_{k=1}^n a_k \le \frac{a_1^2}{a_2}+\frac{a_2^2}{a_3}+...+\frac{a_n^2}{a_1}
(94高中數學能力競賽　台南區筆試一試題，h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... _High_Tainan_01.pdf連結已失效)

101.12.11補充
我在這本書找到這題的數學歸納法證明
夏興國，數學歸納法縱橫談

老師您好，請問填充第1題兩橢圓所夾面積應該要怎麼處理呢?
可以指點一下嗎?謝謝您。

利用伸縮變換，作出兩圓 x^2+y^2=a^2 和 (x-a)^2+y^2=a^2
計算兩圓交集面積再乘上 \displaystyle  \frac{b}{a} 就好。
如圖
兩圓交集面積為 \displaystyle 2 \times \frac{a^2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}a^2}{2}
所以所求為 \displaystyle \frac{2ab\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}ab}{2}

[ 本帖最後由 老王 於 2012-6-17 09:46 PM 編輯 ]

老師您好，謝謝您的解答，很詳細...
另外可以請問計算4的第1小題應該如何處理呢??
只有兩個點的值怎麼用lagrange插值法呢?謝謝您。

計算 4. 沒看過這樣的變形的 Lagrange 插值多項式

不過猜測 \displaystyle P_{1}(x)=\frac{1}{(-3)}(x^{2}-4) , \displaystyle P_{2}(x)=\frac{1}{3}(x^{2}-1)

也就是滿足次數 2, 一次項零，1, 2 代入又會等於 1,0 的多項式

我的想法是，如果找到某個 k ，使得 f(k)=0
那麼
\displaystyle f(x)=f(1) \frac{(x-2)(x-k)}{(1-2)(1-k)}+f(2) \frac{(x-1)(x-k)}{(2-1)(2-k)}
但是對於找 f(3) 的範圍似乎沒有助益。