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6. 二招:遞迴、生成函數
遞迴法:\(\displaystyle P_n = \frac{1}{6} \cdot (1-P_{n-1}) + 0 \cdot P_{n-1} \Rightarrow P_n = (\frac{-1}{6})^n \cdot \frac{6}{7} + \frac{1}{7} \) (感謝 martinofncku 挑出筆誤)
生成函數:\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{6^n} \cdot (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^n \)
令 \(\displaystyle \omega = \exp(\frac{2\pi i}{7}) \), 所求 \( = \frac{1}{7} \left( f(1)+f(\omega)+f(\omega^2)+f(\omega^3)+f(\omega^4)+f(\omega^5)+f(\omega^6) \right) =(\frac{-1}{6})^n \cdot \frac{6}{7} + \frac{1}{7} \)
類題:
(100中科實中) 一袋中有 5 個球,分別寫上 1,2,3,4,5 號,今由其中任取一球記下其號碼後放回袋中,如此繼續 n 次,若 \( P_{n} \) 表記錄到 n 次時數字和為偶數的機率,則 \( \sum\limits _{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2}-P_{n})=\underline{\qquad\qquad} \) 。
(100鳳山高中) 袋中有 \( 1,2,\ldots,9 \) 號球各一個,每次自袋中取出一球,取後放回,共取 n 次,n 次和為偶數的機率記為 \( P_{n} \) ,
求 (1) \( P_{n+1} \) 及 \( P_{n} \) 之關係式
(2) \( \lim\limits _{n\to\infty}P_{n} \) 。
(99鳳新高中) 不透明箱內有編號分別為 1 至 9 的九個球,每次隨機取出一個,記錄其編號後放回箱內;以 P(n) 表示前 n 次取球的編號之總和為偶數的機率。求 P(n)。
(99高雄高中) 一隻青蛙在 \( a,\, b,\, c,\, d,\, e,\, f \) 六相異點跳動,每次跳動之落點異於起跳點,若從 a 起跳,n 次後跳回 a 點有幾種跳法?
(100桃園新進聯招) n 個人安排進入 A 、B 、C 三間房間,A 房間有奇數個人,請問有幾種不同的安排方法?