適逢中秋節連假，我找一些比較古早的考古題讓各位練習

以=cos152+isin152表1的一個真正15次方根，f為一整係數非零多項式，且知f()=0；試問滿足此條件且次數最低的f之次數為若干？

若x=cos152+isin152，則滿足f(x)=0的最少次多項方程式是
(98新港高中，https://math.pro/db/thread-938-1-4.html)
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=43637

想請益這題！
之前了解但現在又想不太通為何是八次！
謝謝

x15−1=x5−1x10+x5+1=x−1x4+x3+x2+x+1x2+x+1x8−x7+x5−x4+x3−x+1

易知cos152+isin152是x8−x7+x5−x4+x3−x+1=0之根

謝謝鋼琴老師!!!!!!!!!!!

不好意思
想向鋼琴老師請教一下
x^10+x^5+1是怎麼想到拆解法的?
第一次看到這題寫10次......
沒想到x^10+x^5+1還可以再拆>m<

100 成淵高中考過這題因式分解，可參考
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2541

因式分解一般來說是個很難的問題，但與解方程式有相當的關係

我也不會因式分解，但由棣美弗定理可解得 x15−1=0 的 15 個複數根，其中有三個根滿足 x3−1=0、5 個滿足 x5−1=0。

所以除法一做，馬上就可以得到 #4 鋼琴大寫的分解

感謝鋼琴老師與寸絲老師的細心講解
確實從x^3-1=0與x^5-1=0這地方去思考
去除共同的x-1因式後，勢必存在一種(x-1)(x^2+x+1)(x^4+x^3+x^2+x^2+x+1)(某個八次式)
可以判斷出x^10+x^5+1尚未分解完畢
但把x^10+x^5+1除掉x^2+x+1後得到的八次式
是如何判斷這個八次式無法再分解呢?(還是說這就是一種感覺!~誤)

我原本想到的是用大學代數所學到的愛因斯坦判別法
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8 ... 4%E5%88%A5%E6%B3%95
整係數多項式f(x)=anxn+an−1xn−1++a1x+a0
如果存在質數p，使得
p不整除an，但整除其他ai
p2不整除a0，
那麼f(x)是不可約的。

但x8−x7+x5−x4+x3−x+1的係數只有1或−1找不到質數p符合愛因斯坦判別法

wiki也提到可以藉由變數代換，說不定就可以找到質數p

有時候不能直接用判別法，或者可以代入y=x+a後再使用。
例如考慮h(x)=x2+x+2。這多項式不能直接用判別法，因為沒有素數整除x的係數1。但把h(x)代入為h(x+3)=x2+7x+14，可立刻看出素數7整除x的係數和常數項，但72=49不整除常數項。所以有時通過代入便可以用到判別法。

我利用maxima來找y=x+a的a值。只是程式執行完沒有符合的a和p。
fx:x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1;
for a:-10000 thru 10000 do
  (fx2:expand(ev(fx,x=x+a)),
   coeffs:create_list(coeff(fx2,x,i),i,0,7),
   p:lreduce(lambda([x,y], gcd(x,y)),coeffs),
   if p#1 then
     (print("x+",a,"p=",p))
  );

接下來我又想到曾經在科學月刊看到游森棚教授寫的一篇文章
猜或不猜，http://scimonth.blogspot.tw/2010/07/blog-post_4697.html
文章有x15−1=(x−1)(x4+x3+x2+x+1)(x2+x+1)(1−x+x3−x4+x5−x7+x8)的例子
和重要的關鍵字 分圓多項式(cyclotomic polynomial)

我再用cyclotomic polynomial去google搜尋，並加上irreducible關鍵字
出來就有很多證明，這已經超過我的程度了，就請你自行參閱了
https://www.google.com.tw/search ... 0.5.157._5LRjDnfqWI