想請問下面幾題:謝謝
1、設a,b為實數,則a^2+ab+b^2-a-2b的最小值為?(-1)
2、求值[(√3tan48度-1)/2sec48度]+2sin^2(18度)=?(1/2)
3、一火車站有4個入口處,每個入口處每次只能一人進站,今有5人進站,共有幾種不同進站方法.(6720)
4、試求y=-x^2-3x+6和x+y-3=0所為區域,繞x=3所得旋轉體的體積?(256pi/3)
5、銳角三角形ABC中,若H為其垂心,且AH=2BC,則cosA=?(2/√5)

1、設 ab 為實數,則 a2+ab+b2−a−2b 的最小值為?(-1)

解答：

a2+ab+b2−a−2b=a2+2a2b−1+b2−2b

　　　　　　　　=a+2b−12+b2−2b−2b−12 

　　　　　　　　=a+2b−12+43b2−6b−1 

　　　　　　　　=a+2b−12+43(b−1)2−4 

　　　　　　　　=a+2b−12+43b−12−1 

　　　　　　　　−1

且當等號成立時，若且唯若 a+2b−1=b−1=0a=0b=1

2、求值[(√3tan48度-1)/2sec48度]+2sin^2(18度)=?(1/2)

解答：

2sec483tan48−1+2sin218 

　　　　　　=23sin48−21cos48+2sin218 

　　　　　　=sin(48−30)+2sin218

　　　　　　=sin18+221−cos36

　　　　　　=sin18+1−cos36

　　　　　　=45−1+1−45+1 

　　　　　　=21

3、一火車站有4個入口處,每個入口處每次只能一人進站,今有5人進站,共有幾種不同進站方法.(6720)

解答：

先把五個人當成是相同球，投到四個入口處，

就知道各入口處需安排多少人在排列等待，

然後把五個人對應到上面選好的五個球的位置，

答案就是　H545!=6720

4、試求 y=−x2−3x+6 和 x+y−3=0 所圍區域繞 x=3 所得旋轉體的體積?(256pi/3)


解答：

先將旋轉軸 (x=3) 移到 y 軸 (x=0)，則

所為上面兩個方程式變成是 y=−x2−9x−12 與 y=−x，

然後找出兩函數圖形的交點是在 x=−2−6 時，

利用 shell method 來積分（剝洋蔥法），可得

所求體積 =−2−62x−x2−9x−12dx−−2−62x−xdx 

　　　　 =224−3416=3256

5、銳角三角形ABC中,若H為其垂心,且AH=2BC,則cosA=?(2/√5)

解答：



如圖，可得 ∠BAC=∠BHD

因為 ADHCDB，所以 AH:HD=BC:BDBD:DH=1:2

在 BHD 中，可得 BD:DH:BH=1:2:5cos∠BHD=25

故，cos∠BAC=cos∠BHD=25

引用:

原帖由 weiye 於 2011-2-7 12:35 AM 發表
3、一火車站有4個入口處,每個入口處每次只能一人進站,今有5人進站,共有幾種不同進站方法.(6720)

解答：

先把五個人當成是相同球，投到四個入口處，

就知道各入口處需安排多少人在排列等待，

然後把五個人對應到上面選好 ...

謝謝weiye老師解析,請問這題我的想法是,每個人有4個入口選擇,現在有5個人,所以我得到的是4的5次方=1024,可否麻煩請weiye老師告知我的想法有何錯誤,謝謝

引用:

原帖由 kittyyaya 於 2011-2-9 11:22 PM 發表


謝謝weiye老師解析,請問這題我的想法是,每個人有4個入口選擇,現在有5個人,所以我得到的是4的5次方=1024,可否麻煩請weiye老師告知我的想法有何錯誤,謝謝 ...

每個入口每次只能有一個人通過，因此要考慮到在該入口的排隊順序，

你上面的做法，假設五人有兩人都選第一入口，則分不出排隊的先後順序。






我講一下我腦海中的圖形好了！

H54 就是把「ＯＯＯＯＯ｜｜｜」重新排成一列，

其中 Ｏ 表示相同的球，

排完之後的任一種情況，比如是「ＯＯ｜｜Ｏ｜ＯＯ」，

然後再把 a,b,c,d,e 五個人分別排入Ｏ之中，

例如「ad｜｜e｜cb」

然後就知道，第一個入口依序進去的是 a, d，第二個入口沒有人，第三個入口有e，第四個入口依序進去的有c, b。







當然，如果解此題時候，要直接把「a b c d e ｜｜｜」重新排列也可以啦，

答案也一樣是 \displaystyle \frac{8!}{3!}=6720.