這次真快~~

設AD為直角ABC之斜邊上的高，過D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，令BC=a，BE=x，CF=y，求證x32+y32=a32。
[解答]
計算題第二題沒寫，在台中火車站才想出來。等等答案貼上來，是用相似形跟畢氏定理可以證出來。去年七十二分過，今年考試人數變多，不知幾分才可以過。

111.3.9補充
出自"數學解題思維方法"
https://www.silkbook.com/book_detail.asp?goods_ser=bk0029015

計算證明題3.
設n為自然數，試以數學歸納法證明：5n5+2n4+3n3−n30為一自然數

thepiano給了數學歸納法的解法
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2831
我提供另一種方法
原式=51(n5−n)+31(n3−n)+21n(n+1)(n2−n+1)
前兩個用費馬小定理得知是正整數，最後一個相鄰的兩整數有2的因數所以也是正整數

我將原式因式分解成[(n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)]/30=sigma(t^4){t=1~n}
則n=k+1時 sigma(t^4){t=1~k+1}=sigma(t^4){t=1~k)+(k+1)^4屬於自然數
不知這樣可不可以?

很抱歉，不會打數學符號

很厲害的方法，竟然能洞察出它是這個級數和

以數學邏輯證明而毫無問題，但題目指定數學歸納法

所以很可惜...

若limn(13+23++n3)(14+24++n4)(12+22++n2)(15+25++n5)=ab(ab為整數，且ab為一最簡分數)，則a+b=？
(A)37　(B)29　(C)22　(D)19。
[解答]
做一題選擇第5題

單選第 5 題：
若limn(13+23++n3)(14+24++n4)(12+22++n2)(15+25++n5)=ab(a,b為整數，且\displaystyle \frac{b}{a}為一最簡分數)，則a+b=？
(A)37　(B)29　(C)22　(D)19。
[解答]
來個另解，

所求＝\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle \left(\frac{1}{3}n^3+O(n^2)\right)\left(\frac{1}{6}n^6+O(n^5)\right)}{\displaystyle \left(\frac{1}{4}n^3+O(n^3)\right)\left(\frac{1}{5}n^5+O(n^4)\right)}

　　　\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{18}n^9+O(n^8)}{\displaystyle \frac{1}{20}n^9+O(n^8)}

　　　\displaystyle=\frac{20}{18}=\frac{10}{9}

單選 5.
若\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{(1^2+2^2+\ldots+n^2)(1^5+2^5+\ldots+n^5)}{(1^3+2^3+\ldots+n^3)(1^4+2^4+\ldots+n^4)}=\frac{b}{a}(a,b為整數，且\displaystyle \frac{b}{a}為一最簡分數)，則a+b=？
(A)37　(B)29　(C)22　(D)19。
[解答]
很標準的做法，如果是小弟在考場裡的話，看到選擇題就會偷懶

\displaystyle \frac{\frac13\cdot\frac16}{\frac14\cdot\frac15}=\frac{20}{18}=\frac{10}{9}

然後就填答案了，至於為什麼可以偷懶，有空的人自己想想吧

慢了一步...還被揭底了


設\overline{AD}為直角\Delta ABC之斜邊上的高，過D分別作\overline{DE}⊥\overline{AB}，\overline{DF}⊥\overline{AC}，令\overline{BC}=a，\overline{BE}=x，\overline{CF}=y，求證\displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}。
[解答]
好吧，只好來做 計算 2. 來個暴力另解

坐標化. A(0,0),\, B(c,0),\, C(0,b) ，則 \displaystyle D(\frac{b^2c}{a^2},\frac{bc^2}{a^2})

所以 \displaystyle x = \frac{c^3}{a^2},\, y = \frac{b^3}{a^2} \Rightarrow x^{\frac23}+y^{\frac23} = a^{\frac23}

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-6-3 07:37 PM 發表
很標準的做法，如果是小弟在考場裡的話，看到選擇題就會偷懶

\frac{\frac13\cdot\frac16}{\frac14\cdot\frac15}=\frac{20}{18}=\frac{10}{9}

然後就填答案了，至於為什麼可以偷懶，有空的人自己想想吧

慢了一步... ...

你都會這樣偷吃步的做法勒，我今天在考場都老實運算，結論寫不完
填充題，書豪那一題要怎麼想，還有求f多項式那題

填充 8.
大雄、小夫、胖虎、宜靜、小安、大仁、書豪、建民，這8人都有網路帳號，他們本來只認識其中的少數某些人，經過一段時間後調查發現，每個人都恰好認識了自己以外的5個朋友(即每個人有2個人還不認識)，請問總共有　　　種不同的組成方式？
[解答]
想成環排 不認識的站在一起

可以三種情況 (1) 8 個人一圈 (2) 5個 3 個各一圈 (3) 4 個 4 個各一圈

之後再算，應該就出來了

至於填充 4 的多項式，也沒想到什麼好方法，代定係數解方程式？！不太想動筆