填充第 3 題
令 \(\displaystyle I=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\)
\(\displaystyle J=\left[\begin{array}{ccc}0&2&3\\0&0&2\\0&0&0\end{array}\right]\)
則 \(\displaystyle A=I+J,J^2=\left[\begin{array}{ccc}0&0&4\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right],J^3=[0]_{3\times3}\)
因為 \(I\) 為單位矩陣，所以任意矩陣與 \(I\) 相乘具有交換性，
\(\displaystyle A^n=(I+J)^n=C^n_0I^n+C^n_1 I^{n-1}J+C^n_2 I^{n-2}J^2+\cdots+C^n_nJ^n\)
\(\displaystyle =I+nJ+\frac{n(n-1)}{2}\left[\begin{array}{ccc}0&0&4\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right],\forall n\geq2\)
\(\Rightarrow A+A^2+\cdots+A^{20}\) 其中第一列第三行的元素
\(\displaystyle =3\left(1+2+3\cdots+20\right)+4\left(\frac{2\times1}{2}+\frac{3\times2}{2}+\cdots+\frac{20\times19}{2}\right)\)
\(=5950.\)
