101復興高中

101 復興高中
例題:
是否能找出三個相異自然數，使得任意兩數之和被第三數除之所得的餘數均為1

解答:不失一般性，可以先假設    abc
(1)
ca+b−1ca+b−1

因為 bcaca+b−12c−12c

因為a+b−c是c的倍數。ca+b−12c,所以a+b−1=c

(2)
此三數aba+b−1

        b(a)+(a+b−1)−1    b2a+b−2bb    b(2a+b−2)(1)+(b)(−1)    b2a−2

因為   b2a−2b2a−2

又ab2a−22b−22b，

所以b2a−22b，因為2a−2是b的倍數。

所以2a−2=b

(3)
此三數a2a−23a−3

        a(2a−2)+(3a−3)−1    a5a−6    a6    a=1236

代回去檢驗，發現a=1不合。

另外三組算出來的三組數據分別是
223            346      61015
答案  346      61015

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-21 06:11 PM 編輯 ]