這張考卷，我有去考。等等訂正把答案貼出來。讓我最嘔的是，填充題第十一題，最近算寸絲的講義，算了第200題，前面題目有遇到類似取高斯函數的題目，方法也會了，考場上算出四個答案。我只驗算真數要恆正，沒有驗算原來的等式。因此我的答案寫了四個，包含那個正確答案。不知道這題可以撿到幾分~~~

11、若實數 x 滿足 logx2−logx−3=0  ，則x=?  

logx=ttlogxt+1logx−1tlogxlogx2−3=logx=tlogx−1logx2−3logxlogx=AA−1A2−3AA−1A2−3A2−3AA2−A−20A2−A−30A2A  −1−1  21−13A21+13221−13A−1    2A21+13

logx=  −2[logx]=2 

帶回原式 ,
(1)  logx2−(−2)−3=0logx=  1x=10x=110 

(2) logx2−(2)−3=0logx=  5  x=105x=10−5 

x=1011010510−5 
帶回 logx2−logx−3=0   驗算

驗算發現只有 105 ，符合等式。其餘都不合。另外三個答案，我在寫的時候，只驗算是否真數恆正。
沒有想到驗算這個原本題目的等式。因此四個答案都寫下去了。應該是都沒有分數了。(~~~樂極生悲,可惜了~~~會寫的題目就要步步驚心，小心把正確答案找出來)~~

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-26 09:12 PM 編輯 ]

1、在1到100之間的正整數n中，使得n2+7 與n+4 不互質的n有幾個? (這題目我在考場上，看到的第一題，又是今年第一家筆試，正個沒有了解題目意思，當下當成1到100中有多少個正整數與n2+7 和n+4不互質~~難怪當下越想越奇怪，整個沒有了解題目意思。犯了學生常犯的錯誤)
解
n2+7 與n+4 不互質，代表n2+7 與n+4 最大公因數不是1。
因此使用輾轉相除法。

n2+7與n+4，最大公因數23  
令 n2+7=23h
    n+4=23k               (hk)=1

1n=23k−41000  k4k=1234

共有4個

2、設f(x)=2x5+3x4+3x3+5x2+6x+10,則f(96)193的餘數為?
解
觀察發現193=(96)(2)+1，因此把 f(x)=2x5+3x4+3x3+5x2+6x+10除以 2x+1
使用綜合除法
f(x)=2x5+3x4+3x3+5x2+6x+10=(2x+1)Q(x)+r，求出 r=8
f(x)=(2x+1)Q(x)+8f(96)=(296+1)Q(96)+8

答案  8

3、設 f(x) = {x^2} + 2x - 3, - 4 \le x \le 1，求合成函數 f\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right)之最大值為?
解
\begin{array}{l} y = f(x) = {x^2} + 2x - 3, - 4 \le x \le 1\\ y = f\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2} - 4, - 4 \le x \le 1 \end{array}
這是一個開口向上的拋物線，頂點會產生最小值。頂點的x座標有包含在範圍內，可以得到

\Rightarrow  - 4 \le y \le 5

\begin{array}{l} f\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right) = f\left( {f\left( y \right)} \right)\\ k = f\left( y \right) = {\left( {y + 1} \right)^2} - 4, - 4 \le y \le 5\\ \Rightarrow  - 4 \le k \le 32\\ f\left( k \right) = {\left( {k + 1} \right)^2} - 4, - 4 \le k \le 32 \end{array}

當k=32時，原來題目的合成函數有最大值1085


填充題第7題，就看13樓，寸絲老師的解法

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-27 08:10 PM 編輯 ]

第四題
設ABCD為矩形，\overline {AB}  = 1,\overline {BC}  = 2,P為射線\overrightarrow {BC} 上一點，使\tan \left( {\angle APC} \right) = \frac{1}{3}，求\overline {PD} 長為?
(我先說我的想法，在考場時候，這個題目很容易思考到座標化，如下圖。可以算出直線 BD的方程式y = \frac{1}{2}x，然後假設p點的參數式，p(2t,t),t \ge 0，由於\tan \left( {\angle APC} \right) = \frac{1}{3}的值為正，所以這個角度為銳角，因此p會落在矩形外面，如下圖的參考圖形。我想藉由向量內積。向量PA，向量PC內積去列出一個等式。解出 t這個未知數。列出來的等式如下

\sqrt {{{\left( { - 2t} \right)}^2} + {{\left( {1 - t} \right)}^2}}  \times \sqrt {{{\left( {2 - 2t} \right)}^2} + {{\left( { - t} \right)}^2}}  \times \frac{3}{{\sqrt {10} }} = 5{t^2} - 3t

如果要解出t，兩邊一平方後，就變成4次的方程式，而且係數很大。想法可以，但算不出來。在考場上就掛住了~~~

剛剛自己訂正又想到用三角函數的方法去做，答案有算出來了。

\begin{array}{l} \angle APC = \theta  = \theta 2 + \theta 1,\tan \theta  = \frac{1}{3}\\ \Rightarrow \left( {\theta 2 + \theta 1} \right) + \left( {\theta 3 + \theta 4} \right) = {90^0}\\ \Rightarrow \theta  = {90^0} - \left( {\theta 3 + \theta 4} \right)\\ \frac{1}{3} = \tan \theta  = \tan \left( {{{90}^0} - \left( {\theta 3 + \theta 4} \right)} \right) = \cot \left( {\theta 3 + \theta 4} \right) = \frac{1}{{\tan \left( {\theta 3 + \theta 4} \right)}} \end{array}

\frac{1}{3} = \frac{1}{{\tan \left( {\theta 3 + \theta 4} \right)}}

\Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{{1 - (\tan \theta 3)(\tan \theta 4)}}{{(\tan \theta 3) + (\tan \theta 4)}}

\Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{{1 - \frac{{2t - 2}}{t} \times \frac{{t - 1}}{{2t}}}}{{\frac{{2t - 2}}{t} + \frac{{t - 1}}{{2t}}}}

\Rightarrow \frac{{5{t^2} - 5t}}{{2{t^2}}} = \frac{{6{t^2} - 6{t^2} + 12t - 6}}{{2{t^2}}}

因為t大於0，因此得到分子會相等。

5{t^2} - 5t = 6{t^2} - 6{t^2} + 12t - 6

解出來

t = 3 \vee \frac{2}{5}

  t = \frac{2}{5}不合

由此可知p(6,3),就可以解出

\overline {PD}  = \sqrt {20}

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-27 08:11 PM 編輯 ]

排列組合這題目，我當下直覺放棄。考慮很多可能，算了半天又不一定對。等等再來好好訂正算一次。

第五題  \Delta ABC中，已知\overline {BC}  = 4，\vec{BC} \cdot \vec{CA} =2 \vec{CA} \cdot \vec{AB} =3 \vec{AB} \cdot \vec{BC}
求線段AC長度為?
解

ab\cos \left( {\pi  - C} \right) = 2bc\cos \left( {\pi  - A} \right) = 3ca\cos \left( {\pi  - B} \right)

- ab\cos C =  - 2bc\cos A =  - 3ca\cos B

ab\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = 2bc\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = 3ca\frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ca}}

{a^2} + {b^2} - {c^2} = 2{b^2} + 2{c^2} - 2{a^2} = 3{c^2} + 3{a^2} - 3{b^2}

\left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} - {c^2} = 2{b^2} + 2{c^2} - 2{a^2}\\ {a^2} + {b^2} - {c^2} = 3{c^2} + 3{a^2} - 3{b^2} \end{array} \right.

\left\{ \begin{array}{l} - 2{b^2} - 6{c^2} =  - 6{a^2}\\ 6{b^2} - 6{c^2} = 3{a^2} \end{array} \right.

{b^2} = \frac{9}{8}{a^2} \Rightarrow b = \frac{3}{{2\sqrt 2 }} \times 4 = 3\sqrt 2

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-27 07:31 PM 編輯 ]

填充題第六題
求\log _{\left( {x + y + 1} \right)}^{}\sqrt {1 - {x^2}}  \ge \log _{\left( {x + y + 1} \right)}^{}y的圖形面積為?
解
(1)  此時取出的範圍是在圓內

\left\{ \begin{array}{l} x + y + 1 > 1\\ \sqrt {1 - {x^2}}  > 0\\ y > 0\\ \sqrt {1 - {x^2}}  \ge y \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y > 0\\ - 1 < x < 1\\ y > 0\\ {x^2} + {y^2} \le 1 \end{array} \right.

(2) 此時取出的範圍是在圓內

\left\{ \begin{array}{l} 0 < x + y + 1 < 1\\ \sqrt {1 - {x^2}}  > 0\\ y > 0\\ \sqrt {1 - {x^2}}  \ge y \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < x + y + 1 < 1\\ - 1 < x < 1\\ y > 0\\ {x^2} + {y^2} \ge 1 \end{array} \right.

\left( {\frac{1}{2} \times {{\left( 1 \right)}^2} \times \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)} \right) + \left\{ {\frac{1}{2} \times 1 \times 1 - \frac{1}{2}{{\left( 1 \right)}^2} \times \frac{\pi }{4}} \right\} = \frac{1}{2} + \frac{\pi }{4}

  
答案  

\frac{1}{2} + \frac{\pi }{4}

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-27 07:53 PM 編輯 ]

確實，這個函數長相真的很醜。我不敢微分下手。
越容易思考的觀念，計算過程越複雜。
填充題第四題，一般來說看到三角形，就是餘弦定理或向量內積。我列出算式後。根本算不下去。
時間在催我~~

第十題我當下看去，要一個式子取捨定理寫出來，不太可能。
應該是要用分類討論的~~
可以把作法貼出來，這版上很多老師會幫你看看算式

可以用寸絲老師部落格的教學，我現在都是用方程式編輯器，轉換成LATEX語法。
http://tsusy.wordpress.com/2013/05/05/latex-%E2%86%94-mathtype/

填充題第十題
甲乙丙丁戊己共六人排成一列，其中甲不排在第1，2位，乙不排在第2，3位置，丙不排在第1，3位置且丁戊不相鄰的排列有幾種？


註解:這個問題在考場上，我直覺用排容原理不好算，但這題直接去那樣排容，每個子問題還是不好做，變得跟分類討論沒有什麼兩樣。因此每種狀況詳細列出來，分類討論去算。會比較好思考。考試時候，我過往經驗排列組合，只要討論有漏，或是多算。時間花下去了，分數又沒拿到。很吃虧。
考場上我試著去討論排列甲乙丙的可能所有位置，但又要考慮丁戊相鄰與否。因此變得十分複雜。
這個題目只要考慮丁戊，就單純許多

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-27 11:19 PM 編輯 ]

填充題第十二題，有何想法？從何下筆！
我只剩下這題還沒訂正出來答案。

寸絲老師，謝謝。