題目分配總數：一. 單選題 10 題 二. 填充題 15 題 三.計算題 1 題 (1)(2) 小題
填充15題

pic.png (34.35 KB)

2012-4-7 22:28

如圖，滿足 AGGD+GEBG+CGGF=2012

求  AGGDGEBGCGGF

編號的字母可能不太一樣

填充 1x

ab0 (印象中)

A=a2+b2−2ab , B=49+a2−720 , C=64+b2−83b 求 A+B+C 的最小值。

註：猜測題目的 C 打錯了，裡面應該有 a，改成 49+a2−72a  可能是原本正確的題意。

填充 1x
f(x)=(1+x+x2+x3+x4)11=a0+a1x+a2x2++a44x44，求 a6。

填充 x (超眼熟的題目，考前一天做100基隆高中，才做到)

f(x) 是一個 98 次多項式，且滿足 f(n)=1n, n=12399，求 f(100)

手殘，打錯，已修正，感謝！

遞迴不難做，

但要注意第八項為 0，遞迴關係為 an+3=an+1+an

從 1-12 分別為 0,1,1,1,2,2,3,0,5,3,5,8

之後再做 13-20 0,1,1,1,2,2,3,4

其實和  1-12 一樣

所以答案是 84=32

但是我也眼殘，沒看到 20 ，印象中我只算到 12階

回程的路上，想到，這題其實可以用立方和加三倍角公式做，如下

cos210+cos250−cos50cos10=cos10+cos50cos310+cos350
=41cos10+cos504cos310+4cos350
=41cos10+cos504cos30+4cos150+3(cos10+cos50)
=43

實在厲害...
來補上自己的考試中未竟之功...考試中一直在想特殊化，用特例帶數字，但一直想正三角。

但其實直角三角形才會好算。

特例：令 A(00)B(20)C(02)D(11)G(tt)， t 待決定，以滿足題目條件。

則邊長比積和可表示為 t1−t+t2−t+t2−t=2012

整理成 t2+2(2−t)(1−t)=2012(1−t)t2015t2−2018t+4=0。

邊長比的積 (1−t)t(2−t)2=t−t2t2−4t+420152015

=4−3t2018t−4−8060t+8060=−3t+4−6042t+8056=2014。

不過這樣的作法，也只能用在填充題上而已，有沒有更漂亮簡單的特例呢？

應該只有給實數而已，因為右式其實是 tan 五倍角

另外 f(x)=(1+x+x2+x3+x4)11 這題，剛才想到一個美妙的辦法

補項，把 x5+x6+ 補到括號裡。

那麼新的函數就是  1(1−x)11，以微分計算 x^{6} 係數

\displaystyle\frac{1}{6!}\frac{d^{6}}{dx^{6}}\frac{1}{(1-x)^{11}}=\frac{C_{6}^{16}}{(1-x)^{17}}=8008\frac{1}{(1-x)^{17}}\Rightarrow8008

但補了之後，展開中會多出 x\cdot x^{5} 和 1\cdot x^{6} 即 \displaystyle\frac{11!}{10!1!}+\frac{11!}{1!1!9!}=11+110=121

所以答案就是 8008-121=7887。

• 
  

  AAADEF 三A相鄰有 4! 種排法

AAADBEBF C_{2}^{5}\times1

AAADEFBB 5\times0

AABADEFB (2\cdot5)\times8

ABABADEF C_{2}^{2}\times C_{2}^{9}

AABBADEF 2\times C_{2}^{2}

以上 \times 前方代表 2B 的插入方法數，後方則是2B插入後2C再插入的方法數

故此類有 AAADEF 4!\times(10+80+36+2)=3072

• AADEFA 2A相鄰但3A不相鄰 3!\cdot4\cdot3

AADEFBAB C_{2}^{6}\times8

AADEFABB 6\times C_{2}^{2}

ABADEFAB 6\times C_{2}^{9}

ABBADEFA 1\times8

故此類有 (3!\cdot4\cdot3)\times(120+6+216+8)=25200

• ADAEAF 3!\cdot C_{3}^{4}

ADAEAFBB 7\times8

ADAEABFB C_{2}^{7}\times C_{2}^{9}

故此類有 (3!\cdot C_{3}^{4})\times(56+21\cdot36)=19488

綜合以上三類共有 3072+25200+19488=47760

以上做完，其實比取捨原理的麻煩多了