填充 9. 小弟來個暴力解，應該有其它比較優的方法

坐標化 C(00)A(0a)B(0b), 向量全寫下了

內積和除以 n 列式得 1nnk=1n2k(k−1)(a2+b2)

可以認填算以下求和公式，懶得算的話，就當作  k2 積分跑出 31

所以答案就是 3c2

填充 10 仔細一做，根本是騙人的題目...

各位看看，或許是小弟做錯了

聯立 y=kx2, (x−a)2+(y−b)2=a2+b2 得 x(k2x3+(1−2kb)x−2a)=0

實係數四次方程式，已知有恰有三相異實根，必為四實根，且其一為二重根

令該重根為 −，根與係數可得剩下一根為 2

乘開以此四根為根的多項式 k2x(x+)2(x−2)=k2x(x3−32x−23)

比較係數得 1−2kb=−32k2a=3k2

兩交點坐標 (−k2), (24k2)，其連線斜率亦為 k

因此 k=2−(−)4k2−k2=k=1 代回比較係數之結果得 a=k2 且 1−2kb=−3k2。

故兩交點為  (−1k)(24k)，又兩交點連線過 (0b) 且斜率為 k，因此 b=2k1−4k2=−3k2k=1b=2a=1

這根本是一場騙局麻...重頭到尾 b 只有一個值而已，一直被求最小值騙了

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-29 04:25 PM 編輯 ]

計算 2.
2012448 ，若 k44, 由除法原理得 2012=km+r, 則 0rkm

因此 m2012=k+rmm2012=kk=12344  皆有解。

以上注意只要 rm ，則 m2012=k  (k 正整數皆可)

2012\div45=44\ldots32,  2012\div46=43\ldots34

2012\div47=42\ldots38, 2012\div48=41\ldots44 。

\frac{2012}{41}=49+\frac{3}{44},  \frac{2012}{42}=47+\frac{38}{42} ，又由單調性，得 k=48 原方程無解。

又 k=1..47 以上已驗有解，因此 k=48 為最小正整數使之無解。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-29 10:53 PM 編輯 ]

填充 1. 線性變換的重點在於線性

所以只要 (1,0),  (0,1)   對應後在   y= 2x 上

其實就全部的 R^2 對過去都在 y = 2x 上了

而 (1,0), (0,1)   分別對應到 (a,c), (b,d) 在直線上

所以 c=2a,  d=2b , 所求等於 2 + \frac12 = \frac52

從頭到尾，那個圓就是個幌子而已

是的，因為是線性的，或者說是符合分配律(及係數積) 再加上 y=2x 在 R^2 構成一個子空間

所以如果基底映射過去在   y=2x 上，整個 R^2 映射過去就都會在 y=2x 上

填充 7. 承 shiauy 所說，旋轉 90 度，所以 \angle P'BP = 90^\circ

計算得 \overline{P'P} = 5\sqrt{2} , 再由畢氏逆定理得 \angle P'AP = 90^\circ

因此四邊形 P'APB 對角互補，為圓內接四邊形

由托勒密定理得 \overline{AB}\cdot \overline{P'A} = \overline{PA}\cdot \overline{BP'} + \overline{AP'}\cdot \overline{PB}

代入數字可得邊長 = 4\sqrt{2} 得面積 32

和 # 33 重覆了，沒注意到，以下可以跳過了

計算 1. Rudin 大師是對的

如果把橢圓兄的 S 對 \overleftrightarrow{QR} 作對稱的話，角度仍然是 60^\circ ，此時四點不共圓

pic2.png (31.3 KB)

2012-5-30 17:26

其實所以滿足 60^\circ 的點夠成的圖是 QSR 優弧 和 QS'R 優弧

不過 QS'R 弧的圓心恰好就是 P 因此如果 S' 所代表的 |\vec{c}| =1

不影響最大值

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-30 10:59 PM 編輯 ]

題目的確是沒有說相切， # 17 小弟回覆就曾說或許是小弟錯了

也許是小弟的中文不好會錯意，但也不排除題目的敘述不好

來看看原題敘述「...有異於原點的另外兩個交點，此二交點落在直線 y = kx+b 上」

前半段有另外兩個交點，當然沒有恰有另外兩個交點的意思，應該可以指二個以上
當然也有可能小弟的中文理解錯誤

但後半的此二兩字，是指定的用法。當交點數是有三個的情況，此二兩個字根本無法指定，是不通的用法

如果真的要把敘述說好不誤會，要麼加上「恰有」二字，或是改成其交點有兩點落點落在直上   y =kx+b

不過既然題目要求最小值，推測後者才是出題者的原意，也就是不應該加上相切的條件。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-31 08:00 PM 編輯 ]

計算 2. 因為書寫順序和思考的順序不同...所以才讓您覺得從 \sqrt{2012} 寫起怪怪的吧


思考的時候，是從幾個例子開始，


如果 k =1 , 取 n=2012
如果 k =2 , 取 n=1006
如果 k =3 , 取 n=670
...
發現基本上就是去找 n = [\frac{2012}{k}]


剩下來的就是去實現這個發現，那什麼條件之下，可以保證商就是我們要的 n


其實就是餘要小於商，用 #19 中的記號就是 r<m ，但我們的除法只保證 0 \leq r < k (原先漏一個等號)


所以才借助 \sqrt{2012} 來使得 k\leq m ，如此來一來處理完 k=1 到 44 都有解


剩下的只好一個一個慢慢驗，只是一樣借助   r<m 加快檢驗

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-1 08:54 AM 編輯 ]

填充 4. 兩邊同時對 y 偏微得

f'(x+y) = 2 f(x) f'(y) , y=0 代入得

f'(x) = 2f(x) f'(0) = 4f(x) \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 4

再來補充個類題，把原題取個 log 就很像下面的類題了

100 中壢高中1招填充 8. 設 f,\, g 為可微分函數, 且 f(x+2y)=f(x)+g(y) , \forall x,\, y\in R . 試問：若 f(0)=1 , f'(0)=2 , 求 g(5) .

看到這個類題後，聯想到第一次看到這個題型時，條件其實給的比較少：微分的條件，只要求 f 在 0 處可微，但從這個條件可以推出其它地方也可以微

不過，對於填充題的作答是沒什麼影響，如果是計算題就要小心條件了

現在把條件弱化一下，改成「 f(x+y)=2f(x)f(y) 對任意實數 x, y 且 f(0)>0,\, f'(0)=2 」

也就是可微函數的條件和函數皆正被拿掉了，但我們還是可以小心地處理

令 x=y=0 代入解得 f(0) = \frac12

若 y \neq 0 ,  則 \frac{f(x+y)-f(x)}{y}=\frac{2f(x)f(y)-f(x)}{y}=2f(x)\cdot\frac{f(y)-\frac{1}{2}}{y}

取極限 y \to 0, 得 f'(x) 存在且 f'(x) = 2f(x)f'(0)

現在只差把 f(x) 除過去，就結束了，所以需要 f(x) \neq 0

若 0 = f(x)=2(f(\frac{x}{2}))^{2}  ，也就是說 f(x) = 0 \Rightarrow f(\frac x2) =0 \Rightarrow f(\frac{x}{2^{n}}) = 0

n \to \infty 又 0 點處連續(可微必連續) 得 f(0) = 0 矛盾，所以 f(x) \neq 0

所以即使把條件弱化到只有 0 處局部的訊息，還是一樣的結果 \frac{f'(x)}{f(x)} = 4

更甚者，可以直接把 f 算出來 f(x) = \frac{1}{2} e^{f'(0)x} , 其實就是解微分方程