1. 最公高因式，可以用輾轉相除法處理，兩個多項式相減會得 (b−d)x2−(b−d)

當 b=d 時，兩多項式完全相同，最高公因式，就是自己本身

當 b=d 時，其最高公因式必為 x2−1 之因式，以因式定理檢驗之

再以  x2−1 除 ax3+bx2+cx+d 可得 (a+c)x+(b+d)，再用因式定理檢查 x2−1 和 (a+c)x+b+d的公因式

若 a+c=b+d，則 x+1 為公因式

若a+c=−(b+d)，則 x−1 為公因式

再用以上兩個條件分類可產生 4 種情形，再加上先前 b=d 的情況，總有 5 (種可能)類

這題中，題意中的三實根隱含了 p 必為非負

否則 p0 時, 3 次函數 f(x)=x3−px+q  為嚴格遞增函數，其導數恆正，此時原方程式僅有一實根。

提供一個另解. 從三次函數的圖形著手

f(x)=0 之解為 x=3p 

改變 q 值，圖形上下移動，三根最小者有最小值的時候，圖形在 x=3p  處的極小值恰為 0，此時三根為 3p3p−23p 

同理，三根最大者有最大值的時候，圖形在 x=−3p  處的極大值恰為 0，此時三根為 −3p−3p23p 

故 −34pa34p 

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-19 05:15 PM 編輯 ]

沒有這麼嚴重啦，原本我也是一樣的想法，以為題目漏條件了

看了好幾次，剛剛才突然想到

2. #12 鋼琴兄用的應該是柯西不等式

(x+x1)2+(y+y1)212+12(x+x1+y+y1)2 

順帶來個另解
令 f(x)=(x+x1)2=x2+2+1x2, 則 f(x)=2+6x40

故 f(x) 在 (0,1) 上為凸函數(convex function), 由凸函數不等式有

2f(x)+f(y)f(2x+y)=f(21)=425

且當 x=y=21 時等號成立

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-22 01:56 PM 編輯 ]

#30 hua0127 老師，已解