「前人種樹，後人乘涼。」幾位老師的心得分享和書單及教甄準備方向都很精采。

書單及各種競賽考題，令人讚為觀止。

書，寸絲手邊雖是有幾本，但多束之高閣，無瑕細讀，偶爾翻閱。

各式考題，難易各有高低，考試方向與教甄亦有遠近，但亦無暇細分。

而寸絲準備教甄過程中，多是以考古題主，苦思、爬文、討論及請教其他老師。

數學科的考古題，可謂眾多，光是做考古題，幾乎就是做不完了，

幸有 Mathpro 上的討論串，可供參考查閱，

準備之時，對每份考題的每一題，都不輕易放過，雖有一解，但若覺粗糙、麻煩，

則應深思其它妙之解，或爬文、請教他人。

今日野人獻曝，整理歸類部分教甄試題，希望可供其他準備教甄的老師們參考。

其內容少部分附有解法，多數題目則留予網友們自行做答

每題亦附出處，如有需要，可自行在 Mathpro 上搜尋該份試題的討論串

單元內容

• 數列
  
• 級數
  
• 方程式
  
• 不定方程
  
• 整理論
  
• 多項式
  
• 根與係數關係
  
• 二次函數
  
• 函數圖形的對稱性
  
• 排列組合
  --------------------------2013.03.24 增加--------------------------
  
• 三角
  
• 向量、斜坐標
  
• 幾何
  --------------------------2013.03.29 增加--------------------------
  
• 柯西不等式
  
• 算幾不等式
  
• 三角不等式、凸函數不等式
  
• 極值問題
  --------------------------2013.04.04 增加--------------------------
  
• 圓錐曲線
  
• 矩陣、行列式
  
• 微積分
  

--------------------------2013.05.30 補充-------------------------------

前文 superlori 的心得提到：「觸類旁通、建立筆記、一題多解」。這一點寸絲也十分贊同，大概除了筆記做得少一些以外，其它兩點都實行了。以下來談談在這方面的經驗：

相信考古題大家都在做，同樣的考古題練習，要考得比人好，當然是下的功夫要比其它人多。一題不只是一題，還要做更深更多的思考，實力才會更進一步。

舉例來說：102 全國聯招考了一題：高斯符號 [x]，表示不大於 x 的最大整數值。試求 (3+2)2012  的個位數字。我的做法是 (3+2)2012=(5+26)1006+(5−26)1006−1 。然後兩項式展開，有根號的互消，沒根號的幾乎都是 10 的倍數，所以答案大概就出來了。

有時間才看一次，重新想想，便開始胡思亂想。是否有其它類似題，如何變化，萬一不是這麼剛好可以乘出一堆 10 的倍數怎麼辦？要是改問除以 7  的餘數，那如何？結果就想了另一個方法和萊因哈特及 weiye 兩位老師的作法相同，也就是利用遞迴數列，觀察有限的循環節。

順帶放個題目給諸位練習，99南港高工：設 [x] 表示不大於 x 的最大整數，求 21+52010  除以 7 的餘數。

教甄的試題，坦白說題目就那些(好大的那些範圍)，但總不能期望數據一樣，一成不變。當這個類題出現時，但數據不同，或許原先的「特例」解法就不適用，因此做考古題的時候，不只是善完成那份題目，更進一步的問問，是個巧合，還是一般性的做法？否則真的出現，大概就是「啊！~這題我看過做過，但...做不出來」，如果事先想過，結局就是反過來：「你會而別人不會」。

再舉個例子：求 sinnsinn2sinn3sinn(n−1)=n2n−1。這個式子或許知道，或許推得出來。做完之後聯想：那 cos 的連乘積呢？
於是乎，又可以做出一個式子  cos2n+1cos22n+1cosn2n+1=12n，其中奇數是因為：分母如果是偶數，那必有一項是 cos2=0，而得乘積就無聊了。那麼問又可改成分母偶項，拿掉 cos2 那項，就像是99文華高中：cos10cos20cos30cos40cos50cos60cos70cos80= _________。
Joy091 老師 利用餘角關係把它換成 sin，問題就解決了。
餘角關係，又給了一個新的想法，是不是 cos2n+1cos22n+1cosn2n+1 也可換成 sin 處理？試著一寫得到 sin4n+2sin34n+2sin4n+2(2n−1)，
我們又得到一個 sin 連乘積的推廣問題。

101 武陵高中也考了一題：sin1sin3sin5sin87sin89。
而這個問題我正好想過，還推廣成一般的情形：nN, =n，求 n−1k=0sin(+k)。

除了自己胡思亂之外，還有 Mathpro 上網友的挑戰，例如102 武陵高中：求函數 f(x)=sinxsin9x+cosxcos9x 的值域。一開始我知道 5 倍角可以做，但不想用 5 倍處理，嘗試之後，失敗了。而隔了一段時間後，有網友詢問是不否有非 5 倍角的做法，而再次挑戰。

發展不同的解法，對這一題的分數而言，可能沒有什麼意義，但考題非是一成不變，「觸類旁通、一題多解」，正是累積自己實力的方法，即使題目改了，方法一失效，還有方法2，這就是額外下功夫的收獲。

-------------------------- 2014.03.29 修正--------------------------
感謝 natureling、Redik、smartdan 指出多處筆誤及誤植，及其它計算錯誤。檔案中，以用紅字標示
新舊的內容差異不大，主要是修正錯誤，合併同類型題目，以及增加 ★ 標示部分較難的問題，基本上看過舊版的就不需新版了

--------------------------103.07.20 --------------------------
Mathnote0718，主要更動如下

• 將重覆出現的題型，以同題號子題標示，以量表示其重要性。
  
• 以★標記部分難題，這些難題其實大多數可能沒有很重要。
  
• 將部分主題(子題)中的少數較不重要題目刪除或移至該子題結尾的倒數幾題。
  
• 增加第 21 主題：其它，包含其它常考題但未列入前 20 個主題，如二進位、數學歸納法、連分數、變量中的不變數…
  

102.10.10版主補充
若你發現錯誤的地方，可以到寸絲的部落格回應
http://tsusy.wordpress.com/2013/ ... %AF%87/#comment-157

110.8.21
經網友listenasics同意後將文章轉到這裡
寸絲老師筆記 第一次手寫(全)：https://reurl.cc/no80d8
(檔案有423MB，建議使用電腦下載)
補充：上面有些題目，我第一次解法的觀念是錯的，我印下來寫第二次甚至到第三次才把觀念完全補到正確。

其餘請見原文章https://www.ptt.cc/bbs/studyteacher/M.1629008566.A.F8B.html

同感，寸絲自認為是實力存在考場之外的人。但實際情況上，其它人也好不到哪去吧，不是只有你一個人在緊張在懊惱。

為什麼？因為，考試是很現實的限時作答。因為有時限，所以做題的順序必然是先挑看過會寫的題型

寫完之後，剩下來的事：檢查驗算或處理其它題目。有限時間加上過多的空格，就會發生，這題想想...沒有頭緒

換一題，也許另一題比較簡單。就這樣換來換去，時間就這樣渡過，也許做出了幾題，又遺留了幾題。

幾次的教甄之後，發現其實計算錯誤及遺漏、看錯題，不比這些遺珠之憾來得少

與其把時間花在上面，也許不如仔細驗算檢查 (當然每個人的情況不一樣)

前文 weiye 老師說了限時模擬考試。我也是採同樣的做法，只是通常限制時間是更短的 80 分鐘或 90 鐘。

把時限練好，至於和考場的時差，和拿來做什麼，就看自己的決定。

還有，沒有人不犯錯，即使像我今年無壓力地偷某試題時，有也有一題忘記平方 a2+b2=(a2+b2)2 , 一題不小心看錯題目

類似的錯誤，很頻繁常見，而我的態度是

1. 降低出錯率，每場考試，除了筆試過或不過，還要算算自己這場發揮了多少？是 7 成、8 成，還是只有 6 成？

2. 如果發揮的比上不去，那就提升分母，也就是更加緊地練習筆試，以增提升功力，練到，即使只有 6 成發揮，也要考進複試