110臺北市高中聯招

1.
下列關於數列與級數的述敘，選出正確的選項。
(A)一個數列有可能同時是等比數列也是等差數列
(B)一個數列有可能不是等比數列也不是等差數列
(C)若n=1an 發散，則n=1a2n 必發散
(D)若n=1an 收斂，則n=1a2n 必收斂
(E)若n=1an 收斂，則n=1(a4n−3+a4n−1+a2n) 必收斂
[解答]
(E) 反例
an=(−1)n+11n+n+2 

an 遞減，且 limnan=0，因此 n=1an 收斂，令 A=n=1an

nk=1a4k−3+a4k−1+a2k=2nk=1ak+2nk=n+1a2k−1 

其中 2nk=1akA, 2nk=n+1a2k−1=2nk=n+112k−1+2k+1=24n+1−2n+1=2n4+1n−2+1n 。

因此 n 時，nk=1a4k−3+a4k−1+a2k  的極限不存在