計算 8.
1. 題意中，並無任何地方指出 f(x) 是一個多項式。

2. 題幹不完整，缺少函數 f 的定義域及對應域，且敘述有瑕疵

個人傾向解讀為：f(f(x)+f(y))=x+y, for all xyN。

但還是缺少了定義域和對應域，如不做限制，就會以下例子

例 f(x)=xqxq, if xqQ, if xqQ，其中 q  為一無理數，則當 xyN 時， f(f(x)+f(y))=f(xq+yq)=f((x+y)q)=q(x+y)q=q。

3. 假設 f 的定義域和值域都是自然數集 N，則 f(1)=kN

f(2k)=2, f(4)=4k, f(k+4k)=1+4=5，

如此重覆(或數學歸納法)可得 f(p)=pk 且 f(qk)=q, for p=14710 和 q=258。

pq 同上行，可得 f(pk+q)=f(f(p)+f(qk))=p+qk

f((p+qk)+pk)=f(f(pk+q)+f(p))=pk+q+p

又 p+qk+pk1(Mod  3)，因此 f(p+qk+pk)=pk+qk2+pk2

故 pk+q+p=pk+qk2+pk2(p+q)(k2−1)=0k=1

而 20141(Mod  3)，故 f(2014)=2014

4. 3 中我們看到另一個可能解 k=−1，如果要接受這個解，我們必須擴充對應域為 Z

緊接著的問題是 f(f(1)+f(1))=f(−2), 是否繼續擴充定義域，而且讓 f 滿足的關係式是對任意整數 x, y 皆成立。

否則不擴充的話，負整數，將不受限制，無法無天，然後又會發生無限多可能的解


103.8.28版主補充
設f為由實數映到實數的函數且f不為零函數。若對任意實數x,y，f(x+yf(x))=f(x)+xf(y)皆成立，試證明：對每一個正整數n，f(n)=n。
(88全國高中數學競賽　台中區複賽試題(一)，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)
那這題也可以用上面的方法證明嗎？假如不行的話是為什麼？那該用什麼方法？

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-8-29 12:44 AM 編輯 ]

計算
1. 同
2. 2−89
4. -488
5. 同

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-4-29 06:15 PM 編輯 ]

計算 5. 令 g(x)=\frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{2})} ，則 g(x+\frac{1}{2})=\frac{f(x+\frac{1}{2})}{f(x+1)}=\frac{f(x+\frac{1}{2})}{f(x)} ，由算幾不等式可得 \frac{g(x)+g(x+\frac{1}{2})}{2}\geq1 。

\int_{0}^{1}g(x)dx=\frac{\int_{0}^{1}g(x)dx+\int_{0}^{1}g(x+\frac{1}{2})dx}{2}=\int_{0}^{1}\frac{g(x)+g(x+\frac{1}{2})}{2}dx\geq1 。

第二題，這題的設計和100桃園高中相同。

100桃園高中：設 z 為複數，若 \frac{z-3}{z}=2(\cos80^{\circ}+i\sin80^{\circ}) ，則複數 \frac{z-1}{z} 之主輻角為 __________。

f(x+1) = f(x) \Rightarrow g(x+1) = g(x)

所以 g(x) 也是週期函數且 1 為其週期，故 \int_0^1 g(x) dx = \int_0^1 g(x+\frac12) dx

那邊只是一些不重要繁鎖的細節，重點在一開始，到底想做什麼？

解出   k ，如何解 k ，一開始很有規律的發現 f(1) = k, f(4) = 4k, f(7) =7k, \ldots  

是不是可以利用那些關係式，使用不同順序組合，再組合出一次，像是 f(31) 的值

這麼一來對於 f(31) 我們就有兩個值必須相等，而解出 k 。

整個主要的想法就只有上面，剩下來對當時的我來說，就是 Try and Error

Try 幾次之後，發現不順，我就乾脆更狠心一點，不要一次代兩個數進關係式，一次帶無限多個數

原本的是 p,p 型代入得 qk 型的結果， qk,qk 型代入得 p 型結果，

所以接下來我就只剩一條路 p,qk 型代入，而得到 pk+q 型的值，如此重覆下去，相信一定會出現某些型的數列會有交集，也就是說紅框處，只是這種任意代的其中一種代法而已。

但實際上代到 f(pk+q) = p +qk 的結果，就可以解方程式了

一個整數被寫成 pk + q 的型式是不唯一的，由兩種以上不同的表示式，就可以確定 k 的值。

f((p+3)k+q) = f( pk + (q+3k)) 便可解出 k = \pm 1

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-22 02:03 PM 編輯 ]

計算 2. 你打錯題目了，松山高中這題，只有奇數的度是

是求 \log_2 ( \sin1^\circ \sin3^\circ \sin5^\circ \cdots \sin 89^\circ )

在 新高中數學101(修訂版) 42.三角(九) 和角公式與倍角公式 p147 例題 4

至於不小心打錯的題目，也有類似題 46 複數之方根與幾何意義 p161 例題 3

而計算 8. 定義域、對應域的問題在 #18 處，我的回文第 2 點，有討論到，在定義域和對應域都是實數系的情況下，滿足該條件的函數會不唯一，使得 f(2014) 的值有不只一種可能(實際上是無限多種可能)

我手邊並沒有舊版，不知道舊本有沒有。因此除了頁碼外，也附上了單元名稱

引用:

原帖由 kyrandia 於 2014-8-26 07:05 PM 發表
...
又因為三角形idc相似於三角形afe,所以等同於a點到線段ef的距離越大越好(屬於連續型變化)
因此可知當cd為正焦弦時即為所求
不好意思，手機發文在加上不會上傳附加檔案，希望各位看的懂  感恩

到相似形為止的論證都沒什麼問題，但兩三角形的比例不是常數，

所以 a 到 ef 有最大值時， i 到 cd 不一定是最大值！！