4.
設有n個正立方體，邊長分別為12n公分，現在將他們由下而上堆疊起來，可隨機以任意大小順序堆疊，但是若連續堆疊兩個立方體，在上面的立方體邊長超過位在下面立方體邊長2公分，則此堆疊方式將會傾倒(例如：若由下而上是②①③④則可安全堆疊，但①④②③則否)，問能安全堆疊的機率為何？

感謝 Pacers31 指正，下面是錯的...不小心誤會題意了，請往下找解答

解1：

若安全，1 的上方必為 2 或沒有。如果 2 在 1 上一層，那麼必是 3 在 2 上，或沒有東西在 2 上。

因此可類推至由上至下到 1 出現，必為連續正整數的型： k1k1−1k1−21；

接著不看這 k_1 個，我們又會有相同之結論，即 1 的下方將是連續正整數 k1+k2k1+k2−1k1+1；

重覆推論得第一個大層 k1個最小連續整，第一個大層 k2 個剩於的最小連續整數…

第 j 層 kj 個剩於最小的連續整數。其中 k1+k2++kj=n, kj 為正整數。(總共分 j 大層)

所以共有 nj=1Hjn−j=nj=1Cn−jn−1=2n−1  種不會傾倒的情形。

所求機率為 n!2n−1.

解2：
考慮以逐次插入的方式，依小到大的方式插入。
第一步，放一個 1。

第二步， 2 可選擇在 1 的上方或下方。

第三步，3 可放在 2 上方的位置，或最下。

而不能放在 1 上方的位置，因為往後愈來愈大，不可能在 3 和 1 中間放入可安全疊起的的方式。

第四步，同上， 4 僅能放在 3 上方的位置，或最下。

...

得安全的放法僅有 2n−1

因此所求機率為  n!2n−1.

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-7-25 05:06 PM 編輯 ]

第七題：
ABC為邊長是1的正三角形，P為三角形內部任意一點，過P作DE平行BC，FG平行AB，HI平行AC；在空間坐標系上，取OQ=PD，OR=PE，OS=FI，求QRS的周長最小值為何？
[解答]
令 PD=x, PE=y, FI=z，則 x+y+z=1.

QRS 周長 =x2+y2+y2+z2+z2+x2 .

令 a=x+yi, b=y+zi, c=z+xi，則周長 =a+b+c.

由三等不等式得 =a+b+ca+b+c=2 .

等式成立為三向量平行，得 x=y=z=31 且 P 為重心。

感謝指正，您的解讀是對...是我先前解讀錯誤

解 2. 的逐次插入法，仍然可以使用，但要從最大的開始放。

理由：如果堆疊完不會倒，那麼 1 的上方至多為 3 (若無，可解釋為  0)

所以把 1 抽出，不會倒，也是說 n 個安全的情形，必可由 n-1 之安全情形經插入最小者得到。

而且 n-1 時，堆疊順序不同，再插入新的正立方體，堆疊序必不相同。

先放 n，有 1 種；
再放 n-1，乘 2；
再放 n-2，乘 3；
再放 n-3，乘 3 (最上面，n-1 的下方，及n-2 的下方)
....
最後放 1，乘 3；

故安全的方法有 23n−2，因此所求機率為  n!23n−2

7. 根號內平方和有距離的味道，所以想到要用三角不等式

要怎麼令沒有一定，也可以在坐標平面上取四點

A(00)B(xy)C(x+yy+z)D(x+y+zy+z+x)   ( D(11) )

則 AB+BC+CDAD=2 

沒開題目，沒注意到題目原本就有 A,B,C,D。
總之，我的 A,B,C,D 不是原本的 A,B,C,D，就當作 A',B',C',D' 吧