計算證明4
ABC中，設abc分別為其三內角∠A∠B∠C的對邊，為其面積，而R為其外接圓半徑
(1)試證：cotA=4b2+c2−a2
(2)利用(1)證明：若cotAcotBcotC成等差數列，則a2b2c2亦成等差數列
(3)如圖：設ABC內部一點P，使得∠PAB=∠PBC=∠PCA=，利用(1)證明：cot=cotA+cotB+cotC
(4)試證：a2+b2+c243 


借標題向諸位請教，計算證明 4.(4) 怎麼用前面小題的結論會比較方便

在 4(3) 中，有先得到 a2+b2+c2=4cot

如果可以證出 30 加上布洛卡兒點的存在性? 即可得證 (4)

先給個無關題組的另證1：

由算幾不等式可得 3a2+b2+c23a2b2c2a2+b2+c2327a2b2c2 

2a=2s−b+s−c2a(s−b)(s−c)a24(s−b)(s−c)  (a,b,c 可互換)

結合上兩行得 a2+b2+c2333a2b2c2123(s−a)2(s−b)2(s−c)2 。

由柯西不等式有 (a2+b2+c2)(1+1+1)(a+b+c)2a2+b2+c234s2。

結合上兩行得 a2+b2+c2491244a2+b2+c243 。

另證2：

a2+b2+c2=2a2+b2+c2+a2+b2+c2ab+bc+ca=2(cscA+cscB+cscC)

而 (csc)=sin32cos2+1sin，故 csc 在 (0) 上為凸函數 (凹向上)，因此 3cscA+cscB+cscCcsc60=23 ，

所以 a2+b2+c2=2(cscA+cscB+cscC)43 。

謝謝~不過這個不等式可能明天就忘了

暴力另證3. 由 (1) 可得 a2+b2+c2=4(cotA+cotB+cotC)

不失一般性假設 AB  為銳角，令 x=2A+B

則 cotA+cotB+cotC2cotx−cot2x ( cot 函數在 (02) 上凹口向上)

而 cot2x=2cotxcot2x−1，故得 cotA+cotB+cotC2cotx3cot2x+13 
第二個 為算幾不等式 23cot2x+13cotx 

因此 a2+b2+c2=4(cotA+cotB+cotC)43 

證明 1. 將垂心記作 H

HDBF 四點共圓 (有兩對角為直角) => ∠HFD = ∠HBD

同理 HEAF 四點共圓 => ∠HFE = ∠HAE

由 CAD、CBE 兩直角三角形有 ∠HBD = 90° - ∠ACB = = ∠HAE

故 ∠HFD = ∠HBD = ∠HAE = ∠HFE，因此 FH 平分 ∠ DFE

同理可得 HD, HE 亦為角平分線，故 H 為三角形 DEF 之內心