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計算2.
已知各項皆為正整數的數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的前\(n\)項和為\(S_n\)且對任意正整數\(n\)，\(\sqrt{S_n}=\lambda(a_n-1)+1\)，\(\lambda\)為正實數。若\(2a_2=a_1+a_3\)，試求：數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的一般項。
[解答]
用了 分子有理化的方式，但還是不好做
\( \sqrt{S_{n}}-\sqrt{S_{n-1}}=\lambda(a_{n}-a_{n-1})...(1) \)
\( \Rightarrow\frac{\sqrt{S_{n}}+\sqrt{S_{n-1}}}{S_{n}-S_{n-1}}=\lambda(a_{n}-a_{n-1}) \)
\( \Rightarrow\sqrt{S_{n}}+\sqrt{S_{n-1}}=a_{n}\lambda(a_{n}-a_{n-1})...(2) \)
(1)(2)\( \Rightarrow\begin{cases}
\sqrt{S_{n}}=\frac{a_{n}+1}{2}\lambda(a_{n}-a_{n-1})\\
\sqrt{S_{n-1}}=\frac{a_{n}-1}{2}\lambda(a_{n}-a_{n-1})
\end{cases} \)
因此 \( \sqrt{S_{n-1}}=\frac{a_{n}-1}{2}\lambda(a_{n}-a_{n-1})=\frac{a_{n-1}+1}{2}\lambda(a_{n-1}-a_{n-2})...(3) \)
而 \( 2a_{2}=a_{1}+a_{3}\Rightarrow a_{3}-a_{2}=a_{2}-a_{1} \)
以 \( n=3 代入 (3) 式，得 a_{3}-a_{2}=a_{2}-a_{3}=2 \) 或 0 (不合，與 (2) 及 \( a_{n} \) 均正矛盾)
接著使用數學歸納法，證明 \( a_{n}-a_{n-1}=2 \) 對所有正整數 \( n\geq2 \) 均成立...(4)。
\( n=2,3 \) 時，即 \( a_{3}-a_{2}=a_{2}-a_{3}=2. \)
若 \( n=k (k\ge3) \) 時 (4) 成立，即 \( a_{k}-a_{k-1}=2 \)
當 \( n=k+1 \) 時，(3) \( \Rightarrow\frac{a_{k+1}-1}{2}(a_{k+1}-a_{k})=a_{k}+1 \)
\( \Rightarrow(a_{k+1}-a_{k}-2)(a_{k+1}+1)=0\Rightarrow a_{k+1}-a_{k}=2 \) 或 \( a_{k+1}=-1 \) (不合)
由數學歸納歸法得 \( a_{n} \)為等差數列，其公差為 2
以 \( S_{n}=\frac{(2a_{n}+2n-2)}{2}\cdot n \) 代入 \( \sqrt{S_{n}}=\frac{a_{n}+1}{2}\lambda(a_{n}-a_{n-1}) \) (恆成立) 解得 \( a_{1}=1, \lambda=\frac12 \)
因此 \( a_n = 2n-1 \)
