計算2.
設數列an和bn滿足an+1=2anbn，bn+1=4a2n+b2n，且a1=7，b1=3。試證：數列anbn是收斂數列，並求其極限值。

算幾不等式只能得到"下界"，極限值還是需要極限的定義或收斂的性質。

計算3.
在坐標空間中，O為原點，已知曲面(x+y−3)2+z2=6−2y 的圖形為一錐體的表面，且此錐體與xy平面、yz平面、xz平面在第一卦限所圍成的封閉立體圖形(含表面)為。試以下列步驟求出的體積：
(1)先在內找出一線段並分割成n等分，設分點依序為P0P1Pn−1Pn，考慮以通過點Pk且垂直P0Pn的平面Ek，以平面Ek與所截的區域為底面，PkPk+1為高所形成的立體圖形為的一個切片。請利用此切片方法寫下估計體積的黎曼和(不需化簡)。
(2)承(1)，以定積分形式表示的體積並求其值。
[解答]
6−2y=(x+y−3)2+z20  y3
又題意限制在第一卦限之中，故可取 P0(000)Pn(030)

平面 E:y=t   與錐體交於 (x−(3−t))2+z2=(6−2t)2 且 y=t
為平面 E 上的一個圓，其圓心 (3-t,t,0) 半徑 6-2t
其在第一卦限所截圖形如下圖：

mathpro_pic.png (9.81 KB)

2024-6-17 13:26

圖形由一個 三分之一圓和直角三角形(三內角 30°,60°,90°) 組成

故此截面在第一卦限的面積為 \frac{1}{3} \pi (6-2t)^2 + \frac{1}{2}(3-t)\cdot \sqrt{3}(3-t)

故以切片法表示的黎曼和可為
\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{3}{n} \times \left( \frac{1}{3} \pi (6-\frac{6k}{n})^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}(3-\frac{3k}{n})^2 \right)

所求體積為 \displaystyle \int_{0}^3 \left( \frac{1}{3} \pi (6-2y)^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}(3-y)^2 \right)dy = 12\pi + \frac{9}{2} \sqrt{3}
(有點醜，不知道有沒有計算錯誤)

計算 1.
f(x),g(x)為三次實係數多項式，證明：1,2,3,5,6,7,9,10,11不可能均為方程式f(g(x))=0的解。
[解答]
不失一般性假設 f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) ，其中 a\neq0, \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{C}

因此 f(g(x))=0\Leftrightarrow(g(x)-\alpha)(g(x)-\beta)(g(x)-\gamma)=0

歸謬地假設 1,2,3,5,6,7,9,10,11 均為 f(g(x))=0 之解。

注意到 f(g(x)) 為 9 次多項式，故 f(g(x))=0 之解為此 9 相異實根。

因此 \alpha,\beta,\gamma 均為實數、兩兩相異且 g(x)-\alpha=0, g(x)-\beta=0, g(x)-\gamma=0 均有三相異實根

(若相同，則 f(g(x))=0 必有重根，若 \alpha 為虛數，則 g(x)-\alpha=0 無實根。)

不失一般性假設 \alpha<\beta<\gamma 。

(1) 若 g(x) 的領導係數為正， y=g(x), y=\alpha, y=\beta, y=\gamma 在坐標平面上的圖形如下圖所示：

mathpropic.png (17.93 KB)

2024-6-17 19:56

因此 g(x)-\alpha=0 的三根為 1,7,9、 g(x)-\beta=0 的三根為 2,6,10、 g(x)-\gamma=0 的三根為 3,5,11

而由根與係數關係可得 1+7+9=2+6+10=3+5+11 ，但此三式並不相等，而得矛盾。

(2) 當 g(x) 的領導係數為負時，同理可得矛盾。

故假設錯誤，即原命題得證。