計算2.
設數列\(\langle\;a_n \rangle\;\)和\(\langle\;b_n \rangle\;\)滿足\(a_{n+1}=2a_n\times b_n\)，\(b_{n+1}=4a_n^2+b_n^2\)，且\(a_1=7\)，\(b_1=3\)。試證：數列\(\displaystyle \langle\;\frac{b_n}{a_n} \rangle\;\)是收斂數列，並求其極限值。

算幾不等式只能得到"下界"，極限值還是需要極限的定義或收斂的性質。

計算3.
在坐標空間中，\(O\)為原點，已知曲面\(\sqrt{(x+y-3)^2+z^2}=6-2y\)的圖形為一錐體的表面，且此錐體與\(xy\)平面、\(yz\)平面、\(xz\)平面在第一卦限所圍成的封閉立體圖形(含表面)為\(\Omega\)。試以下列步驟求出\(\Omega\)的體積：
(1)先在\(\Omega\)內找出一線段並分割成\(n\)等分，設分點依序為\(P_0,P_1,\ldots,P_{n-1},P_n\)，考慮以通過點\(P_k\)且垂直\(\overline{P_0P_n}\)的平面\(E_k\)，以平面\(E_k\)與\(\Omega\)所截的區域為底面，\(\overline{P_kP_{k+1}}\)為高所形成的立體圖形為\(\Omega\)的一個切片。請利用此切片方法寫下估計\(\Omega\)體積的黎曼和(不需化簡)。
(2)承(1)，以定積分形式表示\(\Omega\)的體積並求其值。
[解答]
\( 6-2y = \sqrt{(x+y-3)^2+z^2} \ge 0 \) \( \Rightarrow y \le 3 \)
又題意限制在第一卦限之中，故可取 \( P_0(0,0,0), P_n(0,3,0) \)

平面 \( E: y = t  \) 與錐體交於 \( (x-(3-t))^2 + z^2 = (6-2t)^2 \) 且 \( y =t \)
為平面 \( E \) 上的一個圓，其圓心 \( (3-t,t,0) \) 半徑 \( 6-2t \)
其在第一卦限所截圖形如下圖：

mathpro_pic.png (9.81 KB)

2024-6-17 13:26

圖形由一個 三分之一圓和直角三角形(三內角 30°,60°,90°) 組成

故此截面在第一卦限的面積為 \( \frac{1}{3} \pi (6-2t)^2 + \frac{1}{2}(3-t)\cdot \sqrt{3}(3-t) \)

故以切片法表示的黎曼和可為
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{3}{n} \times \left( \frac{1}{3} \pi (6-\frac{6k}{n})^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}(3-\frac{3k}{n})^2 \right) \)

所求體積為 \( \displaystyle \int_{0}^3 \left( \frac{1}{3} \pi (6-2y)^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}(3-y)^2 \right)dy = 12\pi + \frac{9}{2} \sqrt{3} \)
(有點醜，不知道有沒有計算錯誤)

計算 1.
\(f(x),g(x)\)為三次實係數多項式，證明：1,2,3,5,6,7,9,10,11不可能均為方程式\(f(g(x))=0\)的解。
[解答]
不失一般性假設 \( f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) \)，其中 \( a\neq0, \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{C} \)

因此 \( f(g(x))=0\Leftrightarrow(g(x)-\alpha)(g(x)-\beta)(g(x)-\gamma)=0 \)

歸謬地假設 1,2,3,5,6,7,9,10,11 均為 \( f(g(x))=0 \) 之解。

注意到 \( f(g(x)) \) 為 9 次多項式，故 \( f(g(x))=0 \) 之解為此 9 相異實根。

因此 \( \alpha,\beta,\gamma \) 均為實數、兩兩相異且 \( g(x)-\alpha=0, g(x)-\beta=0, g(x)-\gamma=0 \) 均有三相異實根

(若相同，則 \( f(g(x))=0 \) 必有重根，若 \( \alpha \) 為虛數，則 \( g(x)-\alpha=0 \) 無實根。)

不失一般性假設 \( \alpha<\beta<\gamma \)。

(1) 若 \( g(x) \) 的領導係數為正，\( y=g(x), y=\alpha, y=\beta, y=\gamma \) 在坐標平面上的圖形如下圖所示：

mathpropic.png (17.93 KB)

2024-6-17 19:56

因此 \( g(x)-\alpha=0 \) 的三根為 1,7,9、 \( g(x)-\beta=0 \) 的三根為 2,6,10、 \( g(x)-\gamma=0 \) 的三根為 3,5,11

而由根與係數關係可得 \( 1+7+9=2+6+10=3+5+11 \)，但此三式並不相等，而得矛盾。

(2) 當 \( g(x) \) 的領導係數為負時，同理可得矛盾。

故假設錯誤，即原命題得證。