來幫補一下特徵值的方法

填充 8.

xn+1yn+1=7337xnyn ，令 A=7337 。

則 A 的特徵多項式為 (x−7)2−32=(x−10)(x−4)。故其特徵值為 104，

分別對應之特徵向量為 11  和 1−1 。而 x1y1=11+a1−1 。

故 xnyn=10n11+4na−a=10n+4na10n−4na 。

而 2nlogOPn=1nlogOPn2 ， OPn2=102n(2+tn)，其中 tn0, as n。

故 limn2nlogOP=limnn2n+limnnlog(2+tn)=2。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-4 03:24 PM 編輯 ]

填 3.

注意 x7=−1 的根為 3579mega1113，其中 7=−1。

分解 x7+1=(x+1)(x6−x5+x4−x3+x2−x+1)。

因此 (x−)(x−3)(x−5)(x−7)(x−11)(x−13)=x6−x5+x4−x3+x2−x+1。

由餘式定理得，所求為 f(2)=43。

填 4. f(−4) 的正負，可由最高次項決定 (可視為 4 進制)

因此若最高次數是 6 次，則有 36 個，同理若最高為 5 次，則有 35 個...

故總有 36+35++3+1=1093

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-4 06:38 PM 編輯 ]

填充 9. 一般常問的都是內心或重心

其實方法是一樣的，就是先把 −−AH 向成 −AB 和 −AC 的線性組合 (利用內積和正射影的關聯)

再令 AB=AD, AC=AE，將 −−AH 寫成 −−AD 和 −AE 的線性組合

由三點共線的 (係數和為 1)，再配上算幾不等式，即可得之。

填 10.

不妨假設四個對角線所形成的向量為 (111), (11−1), (1−11), (−111)，及 v=1

則 cos2 夾角之值分別為 3(x+y+z)23(x+y−z)23(x−y+z)23(−x+y+z)2, ..

展開相加可得 3(x+y+z)2+(x+y−z)2+(x−y+z)2+(−x+y+z)2=34

另外，如果是考試的填充題，乾脆偷吃步假設 v=(100)，即可得此定值

計算 2. 考驗極限的功力
An=1nnk=12k=2nnk=11nknAn2n01xdx=32 。

n=1nnk=12k−nA2n=1nn(n+1)−nA2n=n1+1n−nA2n 

由 An2n32nA2n98 

所以 nn31 。

所求 limnnAn=limnnnlimnAnn=31322=42 。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-4 09:26 PM 編輯 ]

填充 5. 9# bugmens 大已解

但敝人還是獻醜，來個劣解：

其圖形為第一卦限和兩平所圍出的區域，若固定某個 (xy)，為該區域某一線段，起終點為 (xy0) 和 (xyz)，其中 z=min9−2x−2y29−x−2y。而體積為 xyz0zdxdy

而積分區域可寫為 (xy)xyz0=(xy)x0y02x+2y9

對 z 改寫成分段形式 z=9−2x−2y29−x−2y, if 3x+2y9, if 3x+2y9 ，故積分範圍亦一分為二如下：

xyz0zdxdy=029039−2y29−x−2ydxdy+02939−2y29−2y(9−2x−2y)dxdy=481

填充 7. 不好做的一題，以下動用了三角代換和微積分，是否有其它漂亮的作法，就有待其它高手了

設 L 和 x 軸的銳夾角為 \theta ，則 \overline{OA}+\overline{OB}+\overline{AB}=(1+\tan\theta+\sec\theta)+2\cdot(1+\cot\theta+\csc\theta) 。

令 \phi=\frac{\theta}{2} ， \tan\phi=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=(\cot\theta+\csc\theta)^{-1} , \tan(\frac{\pi}{4}-\phi)=\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}=(\tan\theta+\sec\theta)^{-1} 。

故 (1+\tan\theta+\sec\theta)+2\cdot(1+\cot\theta+\csc\theta)=3+\tan(\frac{\pi}{4}+\phi)+2\tan(\frac{\pi}{2}-\phi)

解其微分為 0： \sec^{2}(\frac{\pi}{4}+\phi)-2\sec^{2}(\frac{\pi}{2}-\phi)=0\Rightarrow\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4}+\phi)=\cos(\frac{\pi}{2}-\phi)
(其中 0<\theta<\frac{\pi}{2}\Rightarrow0<\phi<\frac{\pi}{4} \Rightarrow 此二餘弦皆正)

上式可化簡為 \cos\phi-\sin\phi=\sin\phi\Rightarrow\tan\phi=\frac{1}{2} 。

又 \sec^{2}(\frac{\pi}{4}+\phi)-2\sec^{2}(\frac{\pi}{2}-\phi)\nearrow in (0,\frac{\pi}{4}) ，故此 \phi=\tan^{-1}\frac{1}{2} 為最小值發生之處。

\tan(\frac{\pi}{4}+\phi)=\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=3, \tan(\frac{\pi}{2}-\phi)=(\tan\phi)^{-1}=2 ，故最小值 =3+3+4=10 。

可以參考 thepiano 大在美夢成真的解法

http://www.shiner.idv.tw/teachers/...

作法大致相同，但他用的參數是 t = \tan \frac{\theta}{2} ，更為簡捷漂亮。

會讓我按個讚，讚嘆一下這個手法吧！

待定係數，使用兩次不等式的方法，在 101師大附中計算1，寸絲亦玩過。

但這個手法，很難得心應手，應用自如。

要是，碰到考試計算題，為了寫的簡明扼要，讓改考卷的好改，只好抹去過程

而變成計算紙是上面的版本，答案紙是唬人版 + 檢驗等式條件
(如101師大附中的連結)

不存在這樣的函數 f ，滿足 f(x) + f(\frac1x) = 3x ，對所以非零實數 x