計算 4. 沒看過這樣的變形的 Lagrange 插值多項式

不過猜測 P1(x)=1(−3)(x2−4), P2(x)=31(x2−1)

也就是滿足次數 2, 一次項零，1, 2 代入又會等於 1,0 的多項式

計算 2. 不要被嚇到了，題目都叫我們猜了，當然是列個幾項猜答案，然後證明之。

n=2, 1225=352

n=3, 112225=3352

看到這已經猜出答案了。

以完全平方公式計算得 3333352  =3333333334102+25

前面相乘補一個 33 給它得 99999333343

99999 寫成 100000−1 分配乘開得 (3333400000−33334)3=33333666663=1111122222

補上兩個 0 加 25，就得 3333352  =111112222225

註：以上所有的 aaa..aa 長度一樣長

一般的任意比例的確，的確很難算。

但這題的是特殊比例，應該關注 2PL:3PM:4PN=1:1:1

再回到 (1) 時，就知道這三個量的意義了

計算3

因為前面一段 柯西不等式沒人寫。

由面積和柯西不等式可得在 2PL=3PM=4PN 時會發生極值

後面由面積得到重心的，前面已有人討論過了。

回復 33# natureling 的帖子

計算3

一般我們將 Lagrange 插值多項式寫作 ckpk(x)  之型式，其中 pk ...(不會形容)

但如果不把 pk 的式子詳細寫下了，我們還是知道 pk(xl)=kl，其中 kl  為 Kronecker  記號。

所以其實的我猜測，是將 pk 的性質推廣過來，而反 pk 的形狀

這就像是平常寫證明的時候，從對稱性可以加入一些不失一般性的假設

x1x2x3xn+1 如果最大的是 x5 重新排序

x6x7x8xn+1x1x2x5 重新命名為 y1y2yn+1

那麼 yn+1 就是最大的啦

而對 xi, yi 來說，不等式的兩邊值是相同的

故僅須對 yi 去證明原命題