填充 5.幾何解
取 \( M \) 為 \( \overline{AD} \) 中點，由 \( \overline{BA} = \overline{BD} \) 可得 \( \overline{BM} \perp \overline{AD} \)
又 \( \angle ACB = 90^\circ \)，因此 \( ABCM \) 四點共圓
因此有 \( \angle ACM = \angle ABM = \frac{\alpha}2 \) (等腰三角形 \( BAD \) 底邊上的中線，平分頂角 )
及 \( \angle CMD = \angle ABC \)，故改求 \( \tan \angle CMD \) 即可。
而 \( \triangle ACD \) 中，\( \sin \angle ACD = \frac{12}{13} \), \( \sin \angle ACM = \sin \frac{\alpha}2 = \frac{1}{\sqrt{10}} \)
由正弦定理或面積關係 ( \( M \) 為中點)，計算得 \( \overline{CD} : \overline{CM} = 13 : 6\sqrt{10} \)
不失一般性假設 \( \overline{CD} = 13, \overline{CM} = 6\sqrt{10} \)
\( \cos \angle DCM = \cos (\beta - \frac{\alpha}2) = \frac{27}{13\sqrt{10}} \)
三角形 \( CDM \) 中，餘弦定理得 \( \overline{DM}^2 = 205 \)
再用一次餘弦定理得 \( \cos \angle CMD = \frac{33}{\sqrt{2050}} \)
故 \( \sin \angle CMD = \frac{31}{\sqrt{2050}} \), \( \tan \angle CMD = \frac{31}{33} \)
如果不做餘弦，改用坐標，把 \( AC \) 放在 x 軸上，如下圖。從 \( MC, MD \) 斜率做正切的差角公式，即可算出所求正切值
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本帖最後由 tsusy 於 2026-4-29 14:02 編輯 ]
