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填充 9. 延續您這邊 \( g(x) = (x^{4}-x^{3}-x^{2}+x+1)^4 (x^{5}-x^{4}-x^{3}+x^{2}+x-1)^3 (x^2+1)^7 \)
注意到 \( x-1 \) 是 \( x^{5}-x^{4}-x^{3}+x^{2}+x-1 \) 的因式，分解得
\( x^{5}-x^{4}-x^{3}+x^{2}+x-1=(x-1)(x^{4}-x^{2}+1) \)
而上式中的 \( x^{4}-x^{2}+1 \)，可以配合 \( x^2 +1 \)，寫成立方和的形式，即
\( (x^{4}-x^{2}+1)(x^2+1) = x^{6}+1 \)
另一個四次式沒有看出好的分解，就 \( x^2+1 \) 與它直接硬乘，得
\( (x^{4}-x^{3}-x^{2}+x+1)(x^{2}+1)=x^{6}-x^{5}+x+1 \)
因此 \( g(x)=(x^{6}-x^{5}+x+1)^{4}(x-1)^{3}(x^{6}+1)^{3} \)
高於四次的部分不影響展開式中四次項的係數，僅需考慮
\( (x+1)^{4}(x-1)^{3}\cdot1^{3} = (x+1)(x^{2}-1)^{3}=(x+1)(x^{6}-3x^{4}+3x^{2}-1) \)
上式展開中四次項僅一項，其係數為 \( -3 \)，故所求 \( = F^{(4)}(1) = g^{(4)}(0) = 4! \times (-3) = -72 \)
