填充11. 以絕對值的幾何意義解讀可得
滿足 \( |z+\sqrt{3i}|+|z-\sqrt{3i}|=4 \) 的所有複數 \( z \) 在複數平面上所形成的圖形為一(直)橢圓
其中心在原點 (0,0), 半長軸 \( a = 2 \)，焦距 \( 2c = 2\sqrt{3} \), \( c = \sqrt{3} \), 半短軸 \( b=1 \)
其坐標可用參數式表示為 \( z=\cos\theta+2i\sin\theta \)

故 \( |z-i|^{2}=3\sin^{2}\theta-4\sin\theta+2 \)

配方得 \( 3(\sin\theta-\frac{2}{3})^{2}+\frac{2}{3} \)

當 \( \sin \theta =\frac23 \) 時，\( |z-i| \) 有最小值 \( \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3} \)

填充 10.

設函數 \( f(x)=50\log_{10}x-x \)

則 \( f'(x)=\frac{50}{x\ln10}-1 \)

先解方程式 \( f'(x)=0 \) 可得 \( x=\frac{50}{\ln10}\approx21.74 \)
(這裡有個麻煩，需要 \( \ln 10 或 \log e \) 的近似值，但這張卷沒給，不知道有沒有其它方式可處理)

令 \( c=\frac{50}{\ln10} \)，易得當 \( 2<x<c \) 時 \( f'(x)>0 \Rightarrow f(x) \) 在 \( [2,c] \) 上嚴格遞增

當 \( c<x<100 \) 時 \( f'(x)<0 \Rightarrow f(x) \) 在 \( [c,100] \) 上嚴格遞減。

故在 \( x\in[2,100] \) 時，\( f(x) \) 的最大值為 \( f(c) \)

若 \( x \) 為 \( [2,100] \) 中的整數，則 \( f(x) \) 的最大值為 \( \max\{f([c]),f(\left\lceil c\right\rceil )\} = 45.xxx \)

而本題調分增加為 \( [50\log_{10}x]-x \le f(x) \)
故其最大值 \( k \) 也不大於 \( \max f(x) \)，故 \( k \le 45 \)
當原分 \( x= 21, 22 \) 時，調分增加有最大值 45.

填充 6.
題幹：...已知 \( a+b +\frac1a+\frac9b =10 \) 有最小值時，則 \( a+b \) ...
應該有誤， 等於 10 後方應刪除「有最小值」四字

令 \( k = a+b \)，則 \( \frac1a+\frac9b = 10 - k \)

由柯西不等式可得 \( (\frac{1}{a}+\frac{9}{b})(a+b)\geq(1+3)^{2}=16 \)

\( \Rightarrow(10-k)k\geq16 \)

\( \Rightarrow(k-2)(k-8)\leq0 \)

\( \Rightarrow2\leq k\leq8 \)

最大值等號條件：\( a+b = k =8 \) 且 \( \frac{1}{a} = \frac{3}{b} \)

化簡得當 \( (a,b) = (2,6) \)， \( k=a+b \) 有最大值 8

最小值等號條件：\( a+b = k =2 \) 且 \( \frac{1}{a} = \frac{3}{b} \)

化簡得當 \( (a,b) = (\frac12,\frac32) \)， \( k=a+b \) 有最小值 2