填充 14.
屏東女中舉辦100週年校慶抽號碼送獎品活動，規則如下：
學務處準備編號1、2、3、…、9的牌卡11 張，其中編號8的牌卡有3張，其它編號的牌卡均只有1張。從這11張牌隨機抽出四張且抽出後不放回，依抽出順序由左而右排列成一個四位數。若排成的四位數滿足下列任一個條件，就可獲得獎品：
(1)此四位數大於8800
(2)此四位數含有三個數字8
例如：若抽出四張牌編號依序為8、8、1、6，則此四位數為8816，可獲得獎品。依上述規則，請問共有多少個抽出排成的四位數可獲得獎品？
[解答]
要很小心地算
針對 8 的數量進行分量，以下以 x 表示1~9 中非 8 的 數字
(1) 零個8：9xxx 的型式，有 \( C_{3}^{7}\cdot3!=210 \) 個四位數，可獲得獎品
(2) 一個8
(2-1) 千位為 8：89xx，有 \( C_{2}^{7}\cdot2!=42 \)
(2-2) 千位為 9：9xx8，其中千位數、十位數、個位數可交換，有 \( C_{2}^{7}\cdot3!=126 \)
(3) 兩個8
(3-1) 千位數為 8：88xx, 898x, 89x8，有 \( P^8_2+7+7 = 70 \)
(3-2) 千位數為 9：9x88，其中千位數、十位數、個位數可交換，有 \( C_{1}^{7}\cdot3=21 \)
(4) 三個8：888x：其中四數均可交換，有 \( 8 \cdot 4 =32 \)
綜合以上，共 \( 210 + 42 +126 +70 +21 + 32 = 501 \) 個四位數，可獲得獎品

填充 6.
空間中有一四面體\(ABCD\)，已知\(\overline{AB}=\sqrt{30},\overline{AC}=15,\overline{AD}=9\)，且\(\angle BAC=60^{\circ},\angle CAD=30^{\circ}\)。當\(sin\angle BAD=t\)時，四面體\(ABCD\)體積有最大值。試求\(t\)值。
[解答]
依題意， \( \Delta BAC, \Delta CAD \) 形狀大小皆固定
令 \( H \) 為 \( B \) 在 \( AC \) 中的投影點
以 \( \Delta CAD \) 為底面，則此底面上高的長度不大於 \( \overline{BH} \)

當 \( \Delta BAC, \Delta CAD \) 所在的兩面垂直時，有四面體 \( ABCD \) 的體積有最的值
建立坐標，計算夾角的餘弦值、正弦值

\( \vec{AB}=\sqrt{30}\cdot (\frac{1}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2}) \)
\( \vec{AD}=9\cdot(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0) \)
此二向量的夾角 \( \theta  \)，滿足 \( \cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{4},\sin\theta=\frac{\sqrt{13}}{4} \)

填充9.
\(f(x)\)為一實係數三次多項式函數，已知其反曲點為\((-1,84)\)，且\(\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(-1-h)-f(-1)}{2h}=43\)，又已知存在\(t>0\)，使得對所有\(a,b\in \mathbb{R}\)，若\(b>a>-1\)，則有\(\displaystyle \int_0^t f(x)dx\le \int_a^b f(x)dx\)。試求\(t\)值。
[解答]
當 \( a=0, b= t \) 時， \( \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{0}^{t}f(x)dx \)

也是就是說 \( \min_{-1<a<b}\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{0}^{t}f(x)dx \)

因此 \( f(x) \) 在區間 \( [0,t] \) 均滿足 \( f(x) \le 0 \) 及在區間 \( [-1,0] \)、 \( [t,\infty] \) 均滿足 \( f(x) \geq 0 \)

(多項式函數) 故 \( f(0) = f(t) = 0 \)

又有題意知 \( (-1,84) \) 為反曲點(也是對稱中心)、\( f'(-1) = -86 \)，與 \( f(0) =0 \)

可解得 \( f(x) = 2x(x+8)(x-5) \)，故所求 \( t = 5 \)