回覆 3# Superconan 的帖子
第 6 題
設\(\omega\)為1之\(n\)次方根，若\(k=1+2\omega+3\omega^2+\ldots+n\omega^{n-1}\)
求(1)\(k=\) (以\(n\)、\(\omega\)表示)
(2)請證明：\(\displaystyle \frac{n}{2}\le |\;k|\;\le \frac{n(n+1)}{2}\)
[解答]
注意到 \( wk=w+2w^{2}+3w^{3}+\ldots+nw^{n} \)
故 \( k-wk=1+w+w^{2}+...+w^{n-1}-nw^{n} \)
設 \( w\neq1 \)，則
\( k=\frac{1}{1-w}\left(\frac{w^{n}-1}{w-1}-nw^{n}\right)=\frac{-n}{1-w} \)
\( \Rightarrow|k|=\frac{n}{|1-w|}\geq\frac{n}{2} \)
另一方面 \( |k|\leq1+|2w|+|3w^{2}|+\ldots+|nw^{n-1}|=\frac{n(n+1)}{2} \)
而若 \( w=1 \)，則 \( k=\frac{n(n+1)}{2} \)，此時亦滿足不等式 \( \frac{n}{2}\leq k\le n \)
