113屏科實中

第10題
設a1a2an為非零實數數列，滿足an=an−2an−12an−2−an−1n=34若對無限多個正整數n，an皆為整數，試求a1a2須滿足的條件。
[解答]
沒有其它情況了

令 bn=1an，則 bn=2bn−1−bn−2

利用矩陣(或其它法方) 推出 bn 的一般式

令 A=21−10 ，則 bn+2bn+1=Abn+1bn ，bn+2bn+1=Anb2b1 

而 A=1001+11−1−1 ，且有 11−1−12=0000  及 100111−1−1=11−1−1=11−1−11001 

故由二項式定理得 An=1001+n11−1−1=n+1n−n1−n 

因此 bn+1=b1+n(b2−b1)

而有 an+1=1b1+n(b2−b1)

當 a1=a2 時，b1=b2，
n 夠大時，an0，但 an 又不為 0，
故 n 夠大時，an 皆不為整數。

當 a1=a2 時，b1=b2，an=a1。
故符合無限多項為整數的情形只在 a1=a2 且 a1 為整數發生。