2017APMO初選考試

印象中是某年 APMO 初選，建議補上年份，方便後人查閱

設 ca，則 0c−ac，又 bc−a，故 bc
因此 c 是三質數之中最大者，

而 −2c−2a7b−2a7b7c，又   c7b−2a，故 7b−2a=−c0c2c3c4c5c 或 6c
令 7b−2a=kc，其中 −1k6 且 kZ

ba−cbk(a−c)
而 k(a−c)=(k+2)a−7b，又 abc 為相異質數，故 bk+2

a3b−cbk(3b−c)
而 k(3b−c)=2a+(3k−7)b，又 abc 為相異質數，故 a3k−7

把所有的 k=−1016 皆代入，即可找出 ca 條件下的所有解。
但題意有給 20c80，可利用此條件快速判斷

bk+2、 −1k6、b 為質數，可得 b=2357b7
因此 kc=7b−2a49k2
僅需檢查 k=−1012，可得 k=0 時，(abc)=(7241)

至於 ca 的情況，方法相同，此類情況無解，細節您可以再試試