之前做過，我覺得我的做法不太好

2. 歸謬法、計算 limnaun+1−bun=0

(1) aun+1−bun=(an+1−1)(an−1)(b−1)an+1+(1−a)bn+1+a−b

觀察分子，易論證 n 夠大時，分子為負，故 aun+1−bun=0

(2) 承 (1) 的通分式，分子拆開，可得 limnaun+1−bun=0

(3) 設 un 皆為正整數，當 n 夠大時，
由 (1) 及(3)的假設可得 aun+1−bun 為非 0 整數，故aun+1−bun1
與 (2) 中結論矛盾，故存在正整數 n 使得 un 不為正整數

3. 基本上就是要仿照2的構造一個輔助式，印象不難做

4. 如果一直構造下去的話，會得到除了 1. 以外，都能找到正整數 n，使得 un 不是正整數
但...那個構造，我沒找到簡潔的式子可以一直構造下，也就是沒完成證明

[ 本帖最後由 tsusy 於 2020-5-19 22:29 編輯 ]

3.
注意
a2(aun+2−bun+1)−b(aun+1−bun)=(1−a)(1−a2)bn+2(an+2−1)(an+1−1)(an−1)+a2(b−1)an+2+a−b(an+2−1)(an+1−1)−b(an+1−1)(an−1)(b−1)an+1+a−b

當 ba3 時，上式極限為 0；當 ba2 且 n 夠大時，上式為負
剩下的論證同第 2 小題