我是算幾炸到底，一路黑到底，慘不忍睹

以下使用符號 cyclicf(abc)=f(abc)+f(bca)+f(cab)

2a+b+c=(a+b)+(a+c)2(a+b)(a+c)  (算幾不等式)

故 1(2a+b+c)2411(a+b)(a+c)，同理有 1(2b+c+a)2411(b+c)(b+a), 1(2c+a+b)2411(c+a)(c+b)

因此 1(2a+b+c)2+1(2b+c+a)2+1(2c+a+b)2411(a+b)(a+c)+1(b+c)(b+a)+1(c+a)(c+b)=21a+b+c(a+b)(b+c)(c+a) ....(1)

由 a1+1b+c1=a+b+c 可得 abcab+bc+ca=a+b+c  ab+bc+caabc(a+b+c)=1...(2)

(1)(2) 1(2a+b+c)2+1(2b+c+a)2+1(2c+a+b)221a+b+c(a+b)(b+c)(c+a)ab+bc+caabc(a+b+c)=21cyclic(a3bc+2ab2c2)cyclic(a3b2+a3c2+2a3bc+4ab2c2)...(3)

算幾不等式有 a3b2+a3c22a3bc  cyclica3b2+a3c2cyclic2a3bc ...(4)

算幾不等式有 a3b2+ab2c22a2b2ca3c2+ab2c22a2bc2

故 cyclic(a3b2+a3c2+2ab2c2)cyclic(2a2b2c+2a2bc2)
cyclic(a3b2+a3c2+2ab2c2)cyclic4ab2c2
cyclic(a3b2+a3c2)cyclic2ab2c2...(5)

(4)(5) 31cyclica3b2+a3c2+32cyclica3b2+a3c2cyclic32a3bc+34ab2c2 ...(6)

(3)(6) 1(2a+b+c)2+1(2b+c+a)2+1(2c+a+b)221cyclic(a3bc+2ab2c2)cyclic(38a3bc+316ab2c2)=316.

而當 a=b=c=1 時 1(2a+b+c)2+1(2b+c+a)2+1(2c+a+b)2=316，故所求最大值為 316.

其實是想問另一題，剛好看到上面，順便先回

105 台南區筆試一第四題是否不小心出錯了(或沒出好)，如果是的話，下界應該修成什麼樣子？題目如下：
數列 an，並滿足 15nan−25nan−1=15an−6anan−1，且 a0=0。

求證 1a1a2an252nn!3n(3n+1−5n)， n2

說明：當n3 時 252nn!3n(3n+1−5n)0，而 an 認真算過後都是正的，這樣的不等式實在沒什麼意義

以下是一些化簡：
15nan−25nan−1=15an−6anan−115(n−1)an−25nan−1=−6anan−115n−1an−1−25nan=−6

令 bn=nan，則 15bn−1−25bn=−6，又 b0=0 可解得 bn=53−(53)n+1=531−(53)n 

\frac{1}{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}=\frac{b_{1}b_{2}\cdots b_{n}}{n!}=\frac{3^{n}}{5^{n}\times n!}\prod\limits _{k=1}^{n}\left(1-(\frac{3}{5})^{k}\right)