計算5. 這題之前被學生問過，是 2014amc12#23

最短循環節長度為 n 的話，應該寫作 0an−1an−2a1a0

不想做除法的話，計算 n 可以用擴分的方式 992A=9999

而得 99A=1010101 可推得右式為 99 個 1，再推 9999 就是 198 個 9，所以 n=198

再看等號的個位數可得 A 的個位數 a0=9。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-11 08:27 PM 編輯 ]

填9. 這個方法當然是 OK，思考上很有趣

但是計算 T 或 S 的期望值，會是一件比較簡單的事嗎？

提供一個計算方法

E(S)=49k=1P(xk)=49k=1C250C250−k+1=50k=2C2k5049=C250C351=17。

又 E(T+S)=21+502=51E(T)=34。

因此 E(T−S)=34−17=17。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-12 11:55 AM 編輯 ]

計算 3. 以遞迴方式求解，令 an 表示派出 n 個人的坐法數，則 a1=3, a2=32−2=7。

n+2 人的坐法中，看依兩人分成以下5類

親XXXXX 有 an+1 種

國親XXXX 有 an 種

國國XXXX 見下下行
民民XXXX 見下行
民親XXXX，三類合併有 an+1 種

an+2=2an+1+an, an:37174199239577。

故 7 人時， a7=577

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-12 05:18 PM 編輯 ]

填充 7. 它不是拋物線，而是雙曲線的一支。

將以通過 AB 的直線，繞 AO 軸旋轉，會轉出上下兩個圓錐

平面和兩圓錐，上下各交出一段曲線，正是雙曲線的由來。

另外，似乎中正高中很喜歡圓錐截痕 100、101二招，也都考了圓錐截痕

100中正高中：右圖為一直圓錐，ABC 為正三角形，底圓的圓心為 O，且 AOBC。今一過 O  點的平面與直圓錐之截痕為拋物線，此拋物線的頂點為 S，此拋物線的焦點為 R，試找出 R 點的位置，並證明之。
答. R 在 OS 上，且 OR:RS=3:1。

Chungzheng100.png (22.25 KB)

2014-5-15 22:09

101中正高中2招：如圖，直圓錐頂點為 A, BC 為底面的直徑，O 為圓心，AD=CDAB=AC=BC=4，若 AC 的垂直平分面過 D 點截圓錐得一截痕，則此截痕圖形正焦弦長為 ________。
答. 43 。

Chungcheng101-2-5.png (4.92 KB)

2014-5-15 22:09

99中正高中：在底面半徑為 6 的圓柱內，有兩個半徑也為 6 的球面，其球心距為 13。今有一平面與這兩球面相切，且與圓柱面相交成一橢圓，則這個橢圓的長軸與短軸長之和為 ________ 。
答. 25

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-15 10:14 PM 編輯 ]

填充 11. 先提供個類題

100桃園聯招：在一可任意旋轉的正八面體的八個面塗上黃綠紅三色，請問二黃、二綠、四紅的情形共有幾種？

答. 22 種

當初我是用伯氏引理作用(Burnside's Lemma)，把它拿去 Google，出來 Wikipedia 唯一的應用例子剛好就是中正高中這題。

這個方法，在這裡寫出來，我想意義不大，看不懂的還是一樣霧裡看花，有興趣的自行去看吧。

至於有沒有其它好方法，我也不曉得...

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-22 01:58 PM 編輯 ]

計算3 中，國、民對稱，可互換，所以 (2~4) 合併也可以

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-20 01:28 PM 編輯 ]

計算5. 補充說明：其是只是簡單的餘數問題

111111111：連續 1 ，被 9 整除者，最少是 9 個 1

0101010101  ：同理，有 n 個 01，會有 01010101n (Mod 99)

所以最少要 99 個 01

那個操作是擴分，不會有不合的問題在，例

111=999=9099999

要用哪個分數，看成無窮等比之和，寫成循環小數，結果都是 009

而循環節的長度，就是最小的那一個

wrty2451、hua0127、Ellipse 三位老師，兩種解法，我都想不到

敝人不才只好來一個無賴的猜答案

當 x0sinx=xcosx1−2x2

故 sin6300104, cos121−2(0104)2, sin120208cos61−21(0104)2

而得 cos6+sin121+sin6+cos12120320821731

故猜答案 3 

填4. 假設只解出 ABC 其一者分別有 abc 人，恰解出 BC 兩題者有 d  人，

則 c+db+d=2b=2c+da=b+c=3c+d

總人數為 25=a+(a−1)+b+c+d=9c+4d−1

(cd) 有唯一的正整數解 (22)，故所求 b=6。