剛好逛到這個證明 法蘭克的數學世界外森比克(Weitzenböck's)不等式

101 台師大數學系的甄試也考過此題，題目如下：
設 ABC 的三邊長分別為 abc，而 是此三角形的面積。試證：

(a) a2+b2+c243 
(b) sin2A+sin2B+sin2C49。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-6-16 10:58 PM 編輯 ]

那我也補個證明好了：

先證 a2+b2+c234s2，其中 s=2a+b+c。

由柯西不等式有 a2+b2+c2(1+1+1)(2s)2=4s2 ，再除以 3 即得上式。

a2+b2+c2+31(a2+b2+c2)a2+b2+c2+94s2432sabc  (算幾)。

由算幾不等式有 a=s−b+s−c2(s−a)(s−b)b2(s−a)(s−c)c(s−a)(s−b) 。

因此 34(a2+b2+c2)4316  (海龍公式) a2+b2+c243 。

第 4 題. OP=OC+CP 而 OC=21(OA+OB，且 CPAB

故 OP(OA−OB)=21(OA+OB)(OA−OB)=21(OA2−OB2)=6