來幫補一下特徵值的方法

填充 8.

xn+1yn+1=7337xnyn ，令 A=7337 。

則 A 的特徵多項式為 (x−7)2−32=(x−10)(x−4)。故其特徵值為 104，

分別對應之特徵向量為 11  和 1−1 。而 x1y1=11+a1−1 。

故 xnyn=10n11+4na−a=10n+4na10n−4na 。

而 2nlogOPn=1nlogOPn2 ， OPn2=102n(2+tn)，其中 tn0, as n。

故 limn2nlogOP=limnn2n+limnnlog(2+tn)=2。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-4 03:24 PM 編輯 ]

填 3.

注意 x7=−1 的根為 3579mega1113，其中 7=−1。

分解 x7+1=(x+1)(x6−x5+x4−x3+x2−x+1)。

因此 (x−)(x−3)(x−5)(x−7)(x−11)(x−13)=x6−x5+x4−x3+x2−x+1。

由餘式定理得，所求為 f(2)=43。

填 4. f(−4) 的正負，可由最高次項決定 (可視為 4 進制)

因此若最高次數是 6 次，則有 36 個，同理若最高為 5 次，則有 35 個...

故總有 36+35++3+1=1093

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-4 06:38 PM 編輯 ]

填充 9. 一般常問的都是內心或重心

其實方法是一樣的，就是先把 \overrightarrow{AH} 向成 \overrightarrow{AB} 和 \overrightarrow{AC} 的線性組合 (利用內積和正射影的關聯)

再令 AB =\alpha AD, AC = \beta AE ，將 \overrightarrow{AH} 寫成 \overrightarrow{AD} 和 \overrightarrow{AE} 的線性組合

由三點共線的 (係數和為 1)，再配上算幾不等式，即可得之。

填 10.

不妨假設四個對角線所形成的向量為 (1,1,1) , (1,1,-1) , (1,-1,1) , (-1,1,1) ，及 | \vec{v} | = 1

則 \cos^2 夾角之值分別為 \frac{(x+y+z)^2}{3}, \frac{(x+y-z)^2}{3}, \frac{(x-y+z)^2}{3}, \frac{(-x+y+z)^2}{3} , ..

展開相加可得 \frac{(x+y+z)^{2}+(x+y-z)^{2}+(x-y+z)^{2}+(-x+y+z)^{2}}{3} = \frac{4}{3}

另外，如果是考試的填充題，乾脆偷吃步假設 \vec{v} = (1,0,0) ，即可得此定值

計算 2. 考驗極限的功力
A_{n}=\frac{1}{n}\sum\limits _{k=1}^{n}\sqrt{2k}=\sqrt{2n}\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{1}{n}\sqrt{\frac{k}{n}}\Rightarrow\frac{A_{n}}{\sqrt{2n}}\to\int_{0}^{1}\sqrt{x}dx=\frac{2}{3} 。

\sigma_{n}=\sqrt{\frac{1}{n}\left(\sum\limits _{k=1}^{n}2k-nA_{n}^{2}\right)}=\sqrt{\frac{1}{n}\cdot\left(n(n+1)-nA_{n}^{2}\right)}=\sqrt{n}\sqrt{1+\frac{1}{n}-\frac{A_{n}^{2}}{n}}

由 \frac{A_{n}}{\sqrt{2n}} \to \frac{2}{3} \Rightarrow\frac{A_{n}^{2}}{n}\to\frac{8}{9}

所以 \frac{\sigma_{n}}{\sqrt{n}}\to\frac{1}{3} 。

所求 \lim\limits _{n\to\infty}\frac{\sigma_{n}}{A_{n}}=\lim\limits _{n\to\infty}\frac{\sigma_{n}}{\sqrt{n}}\cdot\lim\limits _{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{A_{n}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4} 。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-4 09:26 PM 編輯 ]

填充 5. 9# bugmens 大已解

但敝人還是獻醜，來個劣解：

其圖形為第一卦限和兩平所圍出的區域，若固定某個 (x,y) ，為該區域某一線段，起終點為 (x,y,0) 和 (x,y,z) ，其中 z=\min\{9-2x-2y,\frac{9-x-2y}{2}\} 。而體積為 \int\int\limits _{x,y,z\geq0}zdxdy

而積分區域可寫為 \{(x,y)\mid x,y,z\geq0\}=\{(x,y)\mid x\geq0,y\geq0,2x+2y\leq9\}

對 z 改寫成分段形式 z=\begin{cases} 9-2x-2y & \mbox{, if }3x+2y>9\\ \frac{9-x-2y}{2} & \mbox{, if }3x+2y\leq9 \end{cases} ，故積分範圍亦一分為二如下：

\int\int\limits _{x,y,z\geq0}zdxdy=\int_{0}^{\frac{9}{2}}\int_{0}^{\frac{9-2y}{3}}\frac{9-x-2y}{2}dxdy+\int_{0}^{\frac{9}{2}}\int_{\frac{9-2y}{3}}^{\frac{9-2y}{2}}(9-2x-2y)dxdy=\frac{81}{4}

填充 7. 不好做的一題，以下動用了三角代換和微積分，是否有其它漂亮的作法，就有待其它高手了

設 L 和 x 軸的銳夾角為 \theta ，則 \overline{OA}+\overline{OB}+\overline{AB}=(1+\tan\theta+\sec\theta)+2\cdot(1+\cot\theta+\csc\theta) 。

令 \phi=\frac{\theta}{2} ， \tan\phi=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=(\cot\theta+\csc\theta)^{-1} , \tan(\frac{\pi}{4}-\phi)=\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}=(\tan\theta+\sec\theta)^{-1} 。

故 (1+\tan\theta+\sec\theta)+2\cdot(1+\cot\theta+\csc\theta)=3+\tan(\frac{\pi}{4}+\phi)+2\tan(\frac{\pi}{2}-\phi)

解其微分為 0： \sec^{2}(\frac{\pi}{4}+\phi)-2\sec^{2}(\frac{\pi}{2}-\phi)=0\Rightarrow\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4}+\phi)=\cos(\frac{\pi}{2}-\phi)
(其中 0<\theta<\frac{\pi}{2}\Rightarrow0<\phi<\frac{\pi}{4} \Rightarrow 此二餘弦皆正)

上式可化簡為 \cos\phi-\sin\phi=\sin\phi\Rightarrow\tan\phi=\frac{1}{2} 。

又 \sec^{2}(\frac{\pi}{4}+\phi)-2\sec^{2}(\frac{\pi}{2}-\phi)\nearrow in (0,\frac{\pi}{4}) ，故此 \phi=\tan^{-1}\frac{1}{2} 為最小值發生之處。

\tan(\frac{\pi}{4}+\phi)=\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=3, \tan(\frac{\pi}{2}-\phi)=(\tan\phi)^{-1}=2 ，故最小值 =3+3+4=10 。

可以參考 thepiano 大在美夢成真的解法

http://www.shiner.idv.tw/teachers/...

作法大致相同，但他用的參數是 t = \tan \frac{\theta}{2} ，更為簡捷漂亮。

會讓我按個讚，讚嘆一下這個手法吧！

待定係數，使用兩次不等式的方法，在 101師大附中計算1，寸絲亦玩過。

但這個手法，很難得心應手，應用自如。

要是，碰到考試計算題，為了寫的簡明扼要，讓改考卷的好改，只好抹去過程

而變成計算紙是上面的版本，答案紙是唬人版 + 檢驗等式條件
(如101師大附中的連結)

不存在這樣的函數 f ，滿足 f(x) + f(\frac1x) = 3x ，對所以非零實數 x