2007TRML

I-6
大圓的半徑為6，小圓的半徑為2，A在大圓的圓周上且為小圓的圓心，BC為大圓的弦且與小圓相切。若AB=8，則AC=　　　。
[解答]
令小圓與 BC  的切點為 D , =ABC 

則 sin=2AB=41

令大圓之圓心為 O , 則 AOV=2AC=26sin=3 

I-8
設數列an滿足an+2=an+1−an且a2=96。已知此數列前2005項的和等於2006，則此數列前2007項的和等於　　　。
[解答]
a1a2a2−a1a4=−a1a5=−a2a6=−a3ak+3=−ak 六個一循環且連續 6  項之和為 0

2005=6334+1a1=a2005=2006

2007k=1ak=a1+a2+a3=2a2=192

Team 6
所有使得n2n−1+1為完全平方數的正整數n之和為　　　。
[解答]
若 n1n2n−1+1  為奇數，若為完全平方數。令 n2n−1+1=(2k−1)2 (kN) n2n−3=k(k−1)

若 n3, 2m−3N, k 和 k−1 必有一奇數，與 2n−3 互質，因此其一為 n 之因數 kn+1

n2n−3(n+1)n2n−3n+1

但 n6 時此不等式必不成立。因此只需再檢驗 n=12345，可得 n=5 唯一解。

110.8.12thepiano補充
設n為正整數，滿足n2n−1+1為完全平方數的n值共有多少個？
(A)1　(B)2　(C)3　(D)4　(E)5
(110香山高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3532&page=1#pid23280)


Team 9
設空間中有一質點，每一次移動的規律是由點(abc)移至點(2b−ca−b+c2b−a)。若該質點由(A5B)出發，經過數次移動後可到達點(24−1625)，則A+B=　　　。
[解答]
注意 x+y  是定值，即 (2b−c)+(a−b+c)=a+b 。

因此 A+5=24−16A=3 ；同理 y+z 亦為定值，可得 B=4

112.6.12
在坐標空間中，質點由點(abc)移到點(b+c−1c+a−1a+b+3)稱為一次移動。已知某質點由點(a,-2,b)出發，經過連續7次移動後的位置為(169,172,170)，則a+b之值為何？
(A)2　(B)3　(C)4　(D)5
(112新北市國中聯招，https://math.pro/db/thread-3760-1-1.html)