14 題
試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{(k+n)\sqrt{2kn+k^2}}{n^3}\)之值。
(我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615)
[解答]
這是用黎曼和求極限

\(\displaystyle \sum\frac{1}{n}(1+\frac{k}{n})\sqrt{\frac{2k}{n}+(\frac{k}{n})^{2}}\to\int_{0}^{1} (1+x)\sqrt{2x+x^{2}}dx \)

然後變數代換 \( y=x^{2}+2x,\, dy=2(x+1)dx \)

\(\displaystyle \int_{0}^{1}(1+x)\sqrt{2x+x^{2}}dx=\frac{1}{3}y^{\frac{3}{2}}\Bigr|_{0}^{3}=\sqrt{3} \)

不一樣的部分
1. \( x>0 \) 的情況是 \(\displaystyle \frac{\sqrt 5 -1}{2}<x<3 \)
應該只是計算錯誤

7. \(\displaystyle \frac{22}{27} \)
那幾顆球都一樣大，四個面外面各一顆，內部也一顆，應該要扣 5 顆
從你的答案推測，應該是少扣一顆了

13. \(\displaystyle \frac{1}{4} \)

3. \(\displaystyle \frac{9}{16} \)

參考一下，說不定是我算錯...

13 題
已知\(\displaystyle f(x)=\Bigg\vert\;\frac{1}{4}x^2-x[x]\Bigg\vert\;\)，求\(\displaystyle f'\left(\frac{3}{2}\right)=\)？
[解答]
微分是區部的操作，所以只要了解在那個點附近函數的狀況就好了

當 \( x \) 在 \(\displaystyle \frac32 \) 附近時，\( [x] =1 \) ，而且 絕對值裡頭是負的，所以

\(\displaystyle f(x) = (\frac14 x^2 -x )\cdot (-1) \) 當 \( x \) 在 \(\displaystyle\frac32 \) 附近時

微分得 \(\displaystyle 1-\frac x2 \) ， \(\displaystyle x =\frac32 \) 代入得 \(\displaystyle \frac14 \)