雖然root test強於ratio test，但因為每次都ratio test比較好算，而且在taylor series時，也都用ratio test在判斷收斂區間，所以還是不能捨掉ratio test。
不過若硬要使用root test來取代ratio test的題目的話，我查了一下，要下面幾個lemma
1) limnnn!= 
2) limnnnn!=e1 
3) limnn(n!)k(kn)!=kkkN 

此題剛好是3) ，所以…33=27

或是直接使用stirling approximation，在n很大時
n!=2nenn 
代入即可。

出題教授可能剛好有教到這個，然後就直接拿來考了…
雖然說教甄沒有範圍，但感覺不怎麼適合。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2023-5-8 10:59 編輯 ]

引用:

原帖由 Ellipse 於 2023-5-8 10:31 發表

這內容有提到的關鍵正是
"柯西第二極限定理"

然後我覺得這跟ratio test ,root test沒太大關係?
ratio test 只是在測驗 sigma {a_n} 這級數是否收斂
利用L=limit a_(n+1)/a_n 來看
但這題L=27 >1 ,ratio test 說這 ...

可以參考Rudin高微的68頁Thm 3.37 (這次換一本比較常見的)
定理本身跟root test與ratio test沒有關係，只是通常都會聯想到。

以下截圖自課本：

a.png (163.02 KB)

2023-5-8 11:55

其中最後提到的Thm 3.20(b)是這個

b.png (20.39 KB)

2023-5-8 11:55

若不習慣高微的證法，也有比較直覺的方式

c.png (13.49 KB)

2023-5-8 11:55

檔案來源在附件中。

引用:

原帖由 5pn3gp6 於 2023-5-15 10:03 發表
填充10各位老師的手法太神了
不過我還是提供一個方法試試，因為老師的手法我不覺得我有搞懂......
給大家參考
可以先看到\(\displaystyle (3n)!=\left(\prod^n_{k=1}3k\right)\left(\prod^n_{k=1}(3k-1)\right)\left ...

能想到這樣的方法…很不錯…

不過…在使用算幾不等式時…是有限項，然後最後單只把右式的n驅近無限大，之後大於等3
這樣不好說明3是最大下界，搞不好是4或5或6，也都大於等於3…

或許可以換成，用夾擠的方式來說明，先在有限項使用不等式，然後大家一起n驅近無限大…
看看這樣可不可行。