1.
我剛算錯了！沒注意到下標，修正了！
nk=02kCknk+1 

=nk=02kn+1Ck+1n+1 

=12(n+1)nk=02k+1Ck+1n+1 

=12(n+1)nk=−12k+1Ck+1n+1−20C0n+1 


=12(n+1)(2+1)n+1−1 


=12(n+1)3n+1−1 


3.

令大圓為 :x2+y2=4r2

則小圓的圓心將在 x2+y2=r2 上

令小圓圓心為 (rcosrsin) ， 代表滾動時相對大圓的參考角

則可得小圓方程式為 (x−rcos)2+(y−rsin)2=r2

在小圓上任取一點 P(xy)=(rcos(+)+rcosrsin(+)+rsin)

其中 為起始參考角， 決定在小圓上的位置， 代表 P 點在小圓上旋轉角

觀察小圓滾動的情形，發現 =−

因為 rcos(+)+rcos=rcos(+)+rcos=r(cos(+)+cos)

且 rsin(+)+rsin=rsin(+)−rsin=r(sin(+)−sin)

則 xy=r(sin(+)−sin)r(cos(+)+cos)=2cos(2(+)+)sin(2(+)−)2cos(2(+)+)cos(2(+)−)=tan2

所以，當我們選定 P 點時， 也就固定了！

因此，我們發現 P 的 xy 座標滿足 y=tan2x

此即為一直線，又大圓的圓心為原點，此線必過原點，故得證！

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最後，我亦做了GGB檔，會較有感覺

同時，我也修正了之前錯誤的修正！

小圓滾大圓_2.rar (7.39 KB)

小圓滾大圓_2.rar (7.39 KB)
GGB檔
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2012-7-6 20:12

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-6 08:37 PM 編輯 ]

大圓小圓那題其實，還有一點點的小問題在！
就是P點位置的起始角度，我沒有考慮進去，


我已修正了那個部分，同時我之前角度的換算也有錯！也一起修正了！

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-6 08:14 PM 編輯 ]

第2題


原式兩邊平方，得 36x2+96x1−x2+64(1−x2)=25(2+21−x2) 


48x1−x2+7(1−2x2)=251−x2 


將 x=sin 代入，得

48sincos+7(1−2sin2)=25cos


24sin2+7cos2=25cos


2524sin2+725cos2=cos


令 02 使得 sin=2524cos=725 ，則上式變成


cos(2−)=cos


則  

(1) 2−==x=sin=2524 ，即得答案


(2) 2−=−=3x=sinsin621 ，此解不合

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-6 05:50 PM 編輯 ]