計算題1.
如下圖, O為正方形ABCD的中心。程式設定讓機器跳蚤在圖中諸點之間跳動﹐每次都可以跳到相鄰的任何一點﹐例如：由A點可跳到O﹑B﹑D中的任何一點﹐由O 點可跳到A﹑B﹑C﹑D中的任何一點。設從O點開始﹐經n次跳動返回 O點的路線有 an種﹐而經n次跳動到達A 點的路線有 bn種 ，試求 a6+b6  。      答: 320+256=576種
A-----------------D
|                        |
|          O           |
|                        |
B-----------------C                                                                             
參考解法: 考慮經 n 次跳動，落在角落(A,B,C,D)的方法數 kn                     

首先， k1=4k2=42=8
k3=2k2+4k1=32

這是因為第 3 次跳到角落的方法數 k3有 2 個來源 :
1. 第 2 次就在角落，又跳到角落，有 2k2種
2. 第 2 次在中心(即 O 點)，再跳到角落，有 k114=4k1 種，
其中 k11 表示第 2 次在中心的方法數，由第 1 次在角落的方法數乘以1而來 !

因此， kn=2kn−1+4kn−2n=3456
而且滿足 4kn=bn (4個角落為對稱情形)， kn−1=an

因為 kn=4832963201024
故 a6+b6=k5+4k6=320+41024=320+256=576

填充7.
abR ，若 ax+by=1 與 x2+y2=50 僅有整數解，求數對 (ab) 有多少組？

答: 72=C112+C212−6


首先，這個圓通過 (17)(55)(71) 共 4+4+4=12 個格子點

所以數對 (ab) 必須使直線  ax+by=1 經過這些點中的 1個 或 2個  (分別是圓的 切線 與 割線)

但是要小心直線  ax+by=1 不經過原點!

所以數對 (ab) 有  C112+C212−6=72 組。