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3.
設矩陣\(A=\left[a_{ij}\right]_{2\times 2},B=\left[b_{ij} \right]_{2\times 2}\)中各元皆為0或1，試問相乘所得\(AB\)共有多少種可能？
[解答]
因為 \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\)，
因此 \(\det(AB)\) 可能取值 \(-1,0,1\)，
對於 \(AB\) 的每一元只能取值 \(0,1,2\)，
若主對角線乘積為 \(4\)，則有 \(1\) 種副對角線取值 ；
若主對角線乘積為 \(2\)，則有 \(3\) 種副對角線取值 ；
若主對角線乘積為 \(1\)，則有 \(8\) 種副對角線取值 ；
若主對角線乘積為 \(0\)，則有 \(6\) 種副對角線取值 ；
因此共有 \(1+2\times3+5\times6+8=45\) 種不同的\(AB\)
