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原帖由 kobelian 於 2024-4-30 08:17 發表
請問老師 第三題 幾一一何的作法

有試過，除了答案1比較好猜，其他答案畫圖沒那麼明顯看得出來

引用:

原帖由 g112 於 2024-4-30 21:35 發表
想請問填充1和3 謝謝

#1
已知\(\triangle ABC\)之重心、內心分別為\(G\)、\(I\)，且\(\overline{BC}=42\)，\(\overline{AB}>\overline{AC}\)。若\(\overline{GI}=2\)且\(\overline{GI}// \overline{BC}\)，\(\vec{AI}=x\vec{AB}+y\vec{AC}\)，求數對\((x,y)=\)　　　。
[解答]
向量AI=向量AG+向量GI
=(1/3)*(向量AB)+(1/3)*(向量AC)+(1/21)*(向量BC)
=(2/7)*(向量AB)+(8/21)*(向量AC)
所求(x,y)=(2/7,8/21)

#3
在複數平面上，複數\(z\)滿足\(|\;z|\;=1\)且\(\displaystyle |\;-1+\sqrt{3}i-z|\;=\Bigg\vert\;\frac{(-1+\sqrt{3}i)^2}{2}-\overline{z^3}\Bigg\vert\;\)，其中\(i=\sqrt{-1}\)。若\(Arg(z)\le Arg(-1+\sqrt{3}i)\)，則複數\(z=\)　　　。
[解答]
令 z=cosθ+i*sinθ代入等式
解出
(1)sinθ=0 .θ=0°
    z=cos0°+i*sin0°=1
(2)tan(2θ)= -√3  ,2θ=120°  ,θ=60°
     z=cos60°+i*sin60°=1/2+ (√3)i/2

引用:

原帖由 optimal0204 於 2024-4-30 22:44 發表
想請問填充7跟8，謝謝各位老師

#7
投擲一個六面分別刻上\(1,1,1,2,2,3\)的公正骰子\(n\)次，則點數和為偶數的機率為　　　
[解答]
假設a_n表示投擲骰子n次,點數和為偶數的機率
則a_1=1/3
a_n=(1/3)*a_(n-1)+(2/3)*[1-a_(n-1)]
(∀n≧2 ,n∈ℕ)
解出a_n=1/2+(-1/6)*(-1/3)^(n-1)
             =1/2+(1/2)*(-1/3)^n
             (∀n≧1 ,n∈ℕ)
#8
以\(x^3+2x^2+2x+1\)除\(x^{2024}-2x^{427}+3x^{113}-4x\)所得的餘式為　　　。
[解答]
f(-1)=1+2-3+4=4--------------(1)
且f(x)≡x²-2x+3x²-4x≡4x²-6x [ mod (x^3-1)]
假設f(x)=(x^3-1)Q1(x)+4x²-6x
            =(x²+x+1)[(x-1)*Q1(x)+4]+(-10x-4)
            =(x²+x+1)*Q2(x)+(-10x-4)
            =(x²+x+1)(x+1)*Q3(x)+r(x²+x+1)+(-10x-4)------------(2)
由(1)&(2)得f(-1)=r+6=4, r= -2
所求餘式= -2(x²+x+1)+(-10x-4)= -2x²-12x-6

引用:

原帖由 optimal0204 於 2024-4-30 23:43 發表
想請問橢圓老師，令z=cosθ+i*sinθ代入等式，等號右邊的z^3 bar 該如何處理呢
是把它變成cos3θ-i*sin3θ嗎?

對喔~後面再繼續化簡