引用:

原帖由 lisa2lisa02 於 2025-4-16 10:46 發表
填充13我假設座標，雖然算得出來，但計算實在冗長，想問問其他方法，謝謝！

想法：
已知為\(A\)到平面\(BEF\)的距離，所以考慮用四面體\(A-BEF\)體積來列式。

過程：
設\(AD=x\)，\(EG＝\frac{\sqrt{3}x}{2}\)
利用\(\angle EBG=30°\)知，\(BE=\sqrt{3}x\)，故\(AB=\sqrt{2}x\)
因此可得\(△BEF\)的三邊長為，\(BF=\frac{\sqrt{6}x}{2}\)，\(EF=\frac{\sqrt{6}x}{2}\)，故\(△BEF\)面積\(=\frac{3x^2}{4}\)
又\(△ABE\)面積\(=\frac{\sqrt{2}x^2}{2}\)
因為四面體\(A-EBF\)體積\(=\frac{1}{3} \times △ABE面積 \times EG＝\frac{1}{3} \times △BEF面積 \times 2\)
解得\(x=\sqrt{6}\)

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-16 20:27 編輯 ]

令四個黑點分別為P1、P2、P3、P4，
設X為從A到B的捷徑中經過標示點的個數，
Xi為捷徑經過Pi點次數
pi為捷徑經過Pi點的機率
所以，
E(X)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+E(X4)=1．p1+1．p2+1．p3+1．p4=31/21


另一個算法，是以經過點的個數乘以機率，但這個機率的計算很複雜，不妨可以用兩個點的情形來觀察，會發現兩者的結果是相同的，如下。符號的部分就不另外說明：
恰過1點的機率：P1∩(P2)'+(P1)'∩P2
恰過2點的機率：P1∩P2
E=1．P1∩(P2)' + 1．(P1)'∩P2 + 2．P1∩P2＝P1+P2

直接計算可以得到，經過4點的機率為0，經過3點(2種)的機率為3/35，經過2點(3種)的機率為3/7，經過0點的機率為13/105 (用加法原理)，故經過1點的機率為38/105。

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-20 16:53 編輯 ]

確實如老師所言，因為題目已經說明："每條捷徑的機會均等"，因此採路徑數的比例計算，而不是每個路口的方向選擇計算機率。