第五題
設複數\(z\)為方程式\(x^4+4\sqrt{2}x^3i-12x^2-8\sqrt{2}xi-4i=0\)之根(其中\(i=\sqrt{-1}\))，則\(|\;z+\sqrt{2}i|\;=\)　　　。
[解答]
化簡得，\((x+\sqrt{2}i)^4=4+4i\)
所以，\(|z+\sqrt{2}i|^4=4\sqrt{2}\)
\(|z+\sqrt{2}i|=2^{\frac{5}{8}}\)

第7題
設坐標空間中有一平面\(E\)：\(6x-2y-3z+7=0\)，而\(E\)上有四點\(O,A,B,C\)，與法向量\(\vec{n}=(6,-2,-3)\)。而\(E,O,A,B,C,\vec{n}\)的相對位置如示意圖，其中\(\Delta OAB,\Delta OBC,\Delta OCA\)的面積分別為\(14,7,42\)，且\(\vec{OA}=(a_1,a_2,a_3),\vec{OB}=(b_1,b_2,b_3),\vec{OC}=(c_1,c_2,c_3)\)，則\(\left|\ \matrix{4&a_1&a_2\cr 5&b_1&b_2 \cr 2&c_1&c_2}\right|\ =\)　　　
[解答]
因為\(|n|=7\)
所以\(OA×OB=4n=(24,-8,-12)，OB×OC=2n=(12,-4,-6)，OC×OA=12n=(72,-24,-36)\)
因此，\(
\left|
\begin{array}
{cc}
a_1&a_2\\
b_1&b_2
\end{array}
\right|=-12，
\left|
\begin{array}
{cc}
b_1&b_2\\
c_1&c_2
\end{array}
\right|=-6，
\left|
\begin{array}
{cc}
c_1&c_2\\
a_1&a_2
\end{array}
\right|=-36，
\)

所求\(＝(4,5,2)．(-6,-36,-12)＝-228\)

(抱歉，省略向量符號)

更正計算題第7題
有一款手機遊戲《花女策珂戰》，遊戲中有抽卡機制，可以透過抽卡來抽得角色。每次抽卡都會抽出一張角色卡，抽卡有可能會抽到重複的角色卡。而角色卡有等級之分，最好的等級是SSR，其餘等級都稱為廢卡。此遊戲抽卡時會有保底機制，其機制為：若連續抽卡99次，皆抽到廢卡，則下一次抽卡必定抽得SSR，而必定抽到SSR的這次抽卡稱為觸發保底。此機制會永久有效，即只要抽到SSR卡，不論是直接抽到或者觸發保底抽到，只要再次發生連續抽卡99 次皆抽到廢卡，則下一抽也必定是抽到SSR。設尚未觸發保底時，每次抽卡抽到 SSR的機率皆為定值p，且\(0<p<1\)。若抽卡250次，試求抽到SSR的次數期望值（試以\(p\)表示答案）。
[解答]
設第\(k\)次抽到SSR的機率為\(p_k\)
\(p_1=p_2=...=p_{99}=p\)
\(p_{100}=p+(1-p)^{99}(1-p)=p+(1-p)^{100}\)
\(p_{101}=p+p_1(1-p)^{99}(1-p)=p+p_1(1-p)^{100}\)
\(p_{102}=p+p_2(1-p)^{99}(1-p)=p+p_2(1-p)^{100}\)
...
\(p_{250}=p+p_{150}(1-p)^{99}(1-p)=p+p_{150}(1-p)^{100}\)
因此250次可抽得SSR張數的期望值為
\(p_1+p_2+...+p_{250}\)
\(=250p+[1+p_1+p_2+...+p_{150}](1-p)^{100}\)
\(=250p+[1+p_1+p_2+...+p_{99}](1-p)^{100}+[p_{100}+p_{101}+...+p_{150}](1-p)^{100}\)
\(=250p+[1+99p](1-p)^{100}+[51p+(1+50p)p^{100}](1-p)^{100}\)
\(=250p+(1+150p)(1-p)^{100}+(1+50p)(1-p)^{200}\)