114高雄中學

第13題
已知等差數列\(\{\;a_n \}\;\)中，\(a_2=5\)，\(a_6=21\)，若數列\(\{\;\displaystyle \frac{1}{a_n} \}\;\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，若\(\displaystyle S_{2n+1}-S_n\le \frac{k}{15}\)，對所有的正整數\(n\)恆成立，試求實數\(k\)的取值範圍。
[解答]
\(a_n=4n-3\)
令\(f(n)=S_{2n+1}-S_n\)，
檢查\(f(n)\)的單調性
\(\displaystyle f(n+1)-f(n)=(S_{2n+3}-S_{n+1})-(S_{2n+1}-S_{n})=\frac{1}{a_{2n+3}}+\frac{1}{a_{2n+2}}-\frac{1}{a_{n+1}}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{8n+9}+\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{4n+1}<\frac{1}{8n+2}+\frac{1}{8n+2}-\frac{1}{4n+1}<0\)
故\(f(n)為遞減函數\)，又\(\displaystyle f(1)=\frac{14}{45}\)
所以，\(\displaystyle \frac{14}{45}=\frac{k}{15}\)，得\(\displaystyle k=\frac{14}{3}\)

第12題，
有試著代兩組數進行化簡，得不到統一的答案。