分母有一個三次方

長方體\(ABCD-EFGH\)中，已知直線\(AC\)方程式為\(\displaystyle \frac{x-3}{-2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+7}{1}\)，直線\(HF\)方程式為\(\displaystyle \frac{x}{1}=\frac{y}{4}=\frac{z}{-3}\)，且\(A(3,-1,-7)\)。試求矩形\(ABCD\)面積為　　　。
[解答]
可以參考寸絲老師的做法
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3507&page=4#pid22683

設\(a,b\)為實數，且\(f(x)=2x^3+a(a+3)x^2-2x+2b-a\)可被\((x+1)(x-1)\)整除。若對任意滿足\(|\;x|\;\le1\)的實數，\(f(x)\ge 0\)恆成立，則\(a\)的範圍為　　　。
[解答]
將函數\(f(x)\div (x+1)(x-1)\)得到商式\((2x+a(a+3))\)

可以畫圖想一下題目的可能重根或大於1的根才有可能
所以滿足題目要求的條件需要第三根\(\displaystyle(-\frac{a(a+3)}{2}\geq 1)\)

第 12 題
坐標平面上有一正方形\(ABCD\)，其中\(A(6,3)\)、\(B(2,6)\)且\(C\)、\(D\)兩點分別位於第二、四象限，若正方形內部區域可用不等式\(|\;a_1x+b_1y+c_1|\;+|\;a_2x+b_2y+c_2|\;<1\)表示，求\(|\;c_1|\;+|\;c_2|\;=\)　　　。
[解答]
打開絕對值應該可以分成四條線
1.\((a_{1}+a_{2})x+(b_{1}+b_{2})y+(c_{1}+c_{2}-1)=0\)
2.\((a_{1}-a_{2})x+(b_{1}-b_{2})y+(c_{1}-c_{2}-1)=0\)
3.\((a_{1}+a_{2})x+(b_{1}+b_{2})y+(c_{1}+c_{2}+1)=0\)
4.\((a_{1}-a_{2})x+(b_{1}+b_{2})y+(c_{1}-c_{2}+1)=0\)
1,3平行2,4,平行
用兩平行直線可算出距離為線段\(AB=\frac{2}{\sqrt{(a_{1}-a_{2})^2+(b_{1}-b_{2})^2}}=\frac{2}{\sqrt{(a_{1}+a_{2})^2+(b_{1}+b_{2})^2}}=5\)
推得\(\sqrt{(a_{1}-a_{2})^2+(b_{1}-b_{2})^2}=\frac{2}{5}\)和\(\sqrt{(a_{1}+a_{2})^2+(b_{1}+b_{2})^2}=\frac{2}{5}\)
又1,3或2,4與直線\(AB:y-3=-\frac{3}{4}(x-6)\)為同一條
所以1,3或2,4為直線\(AB:y-3=-\frac{3}{4}(x-6)\)的\(\frac{2}{25}\)倍
可以知道\(c_{1}-c_{2}+1 ,c_{1}-c_{2}+1,c_{1}-c_{2}-1,c_{1}+c_{2}-1\)再取大的即可