只有填充題部份8題
如附件

1.
自然數中，若含有比5大的質因數，則把他去掉，剩下的自然數由小到大排成一數列bn=1234568，則n=11bn= 　　　
[解答]
原式=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)=15/4

8.
S=11+12+13++110000，則[S]=　　　([]為高斯符號)
[提示]
94台南一, 97省四區口試, 各校教甄常考題


補一下3,5,6的想法
3.
以x2+4y2=12的焦點為焦點，且過直線L：x−y+9=0的一點M作一橢圓。欲使橢圓的長軸最短，則橢圓的方程式為　　　。
[解答]
設此橢圓Γ：x^2 /(12+t)+y^2 /(3+t)=1, t實數, 其兩焦點F(3,0), (-3,0)
L：y=x+9
Γ, L相切時，橢圓長軸最短
=> 斜率為1的切線y=1*x+-sqrt[(12+t)*1^2+(3+t)]
=> sqrt[(12+t)*1^2+(3+t)]=9
=> 2t+15=81, t=33
=> Γ：x^2 /45+y^2 /36=1

5.
正八面體ABCDEF的邊長為2，如圖，已知A為原點，ADE為xy平面上的點，B為yz平面上的點，則點B到y軸的距離=　　　。
[解答]
設正八面體任兩相鄰面所夾二面角為θ
=> cosθ=(3+3-8)/[2*sqrt(3)*sqrt(3)]=-1/3, sinθ=2sqrt(2) /3
所求=sqrt(3)sinθ=2sqrt(6) /3

6.
兩正方形ABCD與EFGH邊長均為1，其中ABCD固定平放在直線L上，如圖所示。若正方形EFGH之一頂點H在CD上移動，且另一頂點G在直線L上移動，當BE=BF時，CG=　　　
[解答]
因BE=BF, 所以B在EF中垂線上
=> B在HG的中垂線上 => BH=BG
設CG=a, CH=b
=> 1+b^2=BH^2=BG^2=(1+a)^2
=> b^2=a^2+2a, a^2+b^2=1
=> 2a^2+2a-1=0
=> a=[-1+sqrt(3)]/2

第7題bugmens大的作法(祕招)我參不透(為何可設f(0)=0？), 只好土法煉鋼
我是先設f(1)=3t, f(2)=4t, f(3)=6t, f(4)=12t
作三次差分
3t　4t　6t　12t
　t　 2t　 6t
　　t　  4t
　　　3t
得3t=constant=12 (相當於將f微三次)
=> t=4
再利用牛頓插值法
令f(x)=2(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)+d
由f(1)=12, f(2)=16, f(3)=24解得b=2, c=4, d=12
=> f(x)=2x^3-10x^2+20x

我也只算出2, 看不出為何有1/2

剛剛算了一下
逼近短軸下方頂點時
r還是2 (其實由對稱性答案應該和上方頂點一樣)
您要不要再check一下？
－－－－－－－－－－－

100.6.4

謝謝chu1976大的提醒
我知道我的盲點在那裡了
我一直以為a -> 0, 等價於A->C, B->C(也可算是受圖形誤導), 故b->1/2
實際上應該是a -> 0 <=> b -> +-1/2
所以這題答案2或1/2沒錯
昨天還以為答案有誤呢

4.
已知曲線f(x)=x4+4x3−16x2+6x−5在x=s與x=t(其中s=t)時的切線重合，求s−t=　　　
[解答]
過(s, f(s))的切線為y=f(s)+f'(s)(x-s)
與y=f(x)=x^4+4x^3-16x^2+6x-5在x=s,t 各有兩切點
故x^4+4x^3-16x^2+[6-f'(s)]x-5-f(s)+sf'(s)=[(x-s)(x-t)]^2=x^4-2(s+t)x^3+(s^2+t^2+4st)x^2+... (因s,t分別為兩重根)
比較係數得
s+t=-2, (s+t)^2+2st=-16 => st=-10
=> |t-s|=sqrt[(t+s)^2-4st]=sqrt(44)=2sqrt(11)

已知A(ab)B(−ab)C(021)為橢圓：x2+4y2=1上的三點，若過ABC三點的圓半徑為r，則lima0r=　　　。

補第二題的想法
首先知a^2+4b^2=1,
因AC斜率為(b-1/2)/a=(2b-1)/(2a), AC中點(a/2, (b+1/2)/2)
=> AC中垂線為y-(b+1/2)/2=[(-2a)/(2b-1)](x-a/2)
代x=0(AB中垂線), 解得圓心坐標( 0, (4a^2+4b^2-1)/(8b-4) )=( 0,  (3-12b^2)/(8b-4))
因a->0 時, b->+-1/2
lim(b->-1/2) [(3-12b^2)/(8b-4)]=0
lim(b->1/2) [(3-12b^2)/(8b-4)]=lim(b->1/2) [(-24b)/8]=-3/2 (L'hospital's Rule)
故lim(a->0) (r) =lim(b->+-1/2) (r)
=1/2-0 或 1/2-(-3/2)
=1/2 或 2