填充七
若兩直線在\( y=ax^2 \)的頂點\(O\)互相垂直，且分別與拋物線交於\(A\)、\(B\)兩點，若\( \Delta OAB \)的最小面積為4，則\( a= \)　　　。
[解答]
假設坐標\(\displaystyle A(t,at^2)、B(s,as^2) \)
要滿足\(\displaystyle ts+a^2t^2s^2=0 \)

也就是\(\displaystyle a^2ts=-1 \)
可以知道\(\displaystyle t,s \)一正一負


計算三角形OAB面積\(\displaystyle (OAB) \)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}|ats^2-at^2s| \)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}|ats||s-t| \)
\(\displaystyle =\frac{1}{2|a|}|t-s| \)

不妨假設\(\displaystyle t>0>s \)
\(\displaystyle t-s=t+(-s)\ge 2\sqrt{\frac{1}{a^2}}=\frac{1}{|a|} \)
所以三角形OAB面積的最小值就是
\(\displaystyle \frac{1}{a^2} \)
所以
\(\displaystyle \frac{1}{a^2}=4 \)
\(\displaystyle a=\pm\frac{1}{2} \)

計算一
已知一個直角三角形\( ABC \)，\( \overline{BC} \)為斜邊，斜邊長為\( a \)，斜邊上的高為\( h \)，\(O\)為斜邊上的中點，今將斜邊\(n\)(\(n>1\)，\(n\)為奇數)等分，若\(P\)、\(Q\)為其中兩個等分點，且\( \displaystyle \overline{PQ}=\frac{a}{n} \)，\(O\)點介於\(P\)、\(Q\)之間，設\(∠PAQ=\alpha\)，請問\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}n tan \alpha=\)？
[解答]
指令"\angle"失效~~~害我修了半天，一直不成功!!!
\(\displaystyle \alpha= ∠ QAH- ∠ PAH \)
\(\displaystyle \tan ∠ QAH=\frac{QH}{AH} \)
\(\displaystyle \tan ∠ PAH=\frac{PH}{AH} \)
所以
\(\displaystyle \tan\alpha=\frac{\frac{QH}{AH}-\frac{PH}{AH}}{1+\frac{QH}{AH}\times\frac{PH}{AH}} \)

\(\displaystyle =\frac{PQ \times AH}{AH^2+QH \times PH} \)

於是
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \tan\alpha=\frac{ah}{AH^2+OH^2} \)
\(\displaystyle =\frac{ah}{OA^2} \)
\(\displaystyle =\frac{4h}{a} \)


測試
\(\displaystyle \angle A \)

因為n趨近於無限大，所以P和Q趨近於O。
以上是很直觀的看法。