第二題
某人在地面\(A\)點，測得山峰的仰角為\(\theta\)，此人向山腳前進100公尺到達\(B\)，測得山峰仰角為\(2\theta\)，再向山腳前進40公尺到達\(C\)，又測得山峰仰角為\(3\theta\)，則山高為
公尺。
[解答]
如圖，可知 \( CD=AD=100 \) ，
在 \( \Delta CDE \) 中用正弦定理， 得到
\(\displaystyle \frac{100}{\sin3\theta}=\frac{40}{\sin\theta} \)
\(\displaystyle 3-4\sin^2\theta=\frac{5}{2} \)
\(\displaystyle \sin^2\theta=\frac{1}{8} \)
\(\displaystyle \sin\theta=\frac{1}{\sqrt8} \)
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt7}{\sqrt8} \)
\(\displaystyle BC=CD\sin2\theta=25\sqrt{7} \)
114.5.28補充
某人在地面\(A\)點，測得山峰的仰角為\(\theta\)，此人向山腳前進110公尺到達\(B\)點，測得山峰仰角為\(2\theta\)，再向山腳前進30公尺到達\(C\)點，又測得山峰仰角為\(90^{\circ}-\theta\)，則山高為
公尺。
(109建國中學代理，
https://math.pro/db/thread-3363-1-1.html)
某人由平面上一點\(A\)測得正東方一塔(塔頂\(T\))的仰角為\(\theta\)，由\(A\)向塔底\(D\)前進150公尺至\(B\)點再測得塔頂\(T\)的仰角為\(2\theta\)，再前進60公尺至\(C\)點測得塔頂\(T\)的仰角為\(3\theta\)，其中\(A\)、\(B\)、\(C\)都在塔的同一側，求塔高\(\overline{TD}\)之值。
(114蘭陽女中二招，
https://math.pro/db/thread-4003-1-1.html)
第三題
若第一次反面，則只要剩下的 \( n-1 \) 次不要連續正面就好；
若第一次正面，則第二次必須反面，只要剩下的 \( n-2 \) 次不要連續正面就好；
故 \(\displaystyle P_n=\frac{1}{2}P_{n-1}+\frac{1}{4}P_{n-2} \)
以及 \( P_1=1, P_2=\frac{3}{4} \)
剩下的就慢慢算。
第四題
前者兩根為 \( 1+i, 1-i \)
如果後者有共軛虛根，我們知道虛根對稱於 \( x \) 軸，只要實部不為 \( 1 \) ，必為等腰梯形，四點共圓；
\(\displaystyle D=m^2-1<0, \Rightarrow -1 < m < 1 \) ；
實部為 \( 1 \) ，\( -2m=2 \) 即 \( m=-1 \) 不在判別式的範圍內，所以這部分是 \( -1 < m < 1 \) 。
如果是相異實根，設兩根為 \( p < q \) ，顯然要有 \( p < 1 < q \) 才行，
而且直徑會在 \( x \) 軸上，由直角三角形子母相似性質知道 \( (1-p)(q-1)=1^2 \)
\( -(1+2m+1)=1 \)
\(\displaystyle m=-\frac{3}{2} \)
