#4
100彰女填充第二部分第11題
https://math.pro/db/thread-1113-2-2.html

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#2
將  y2=mx代入
  x2−4x+4+mx=3x2−(4−m)x+1=0
  x1+x2=4−m
另一方面
y4m2−m4y2+4+y2=3y4−(4m−m2)y2+m2=0
y12+y22=4m−m2y12y22=m2
因為m是正數，以及交點在第一象限，所以
y1y2=m
(y1+y2)2=6m−m2
y1+y2=6m−m2 
中點在y=x上
4−m=6m−m2 
16−8m+m2=6m−m2
2m2−14m+16=0m2−7m+8=0
m=27+17orm=27−17 
但是m要小於4
所以
m=27−17 

#5
假設AB=a,CD=b,AC=BC=AD=BD=1
取AB中點M，CM和DM都垂直AB
所以AB垂直平面CDM
將四面體分成A-CDM和B-CDM
體積為
3121b1−4a2−4b2a 
=112ab4−a2−b2 
令c=4−a2−b2 
可知若a2+b24，體積會接進0，故無最小值。
a2+b2+c2=4
算幾不等式
a2+b2+c233a2b2c2 
abc983 
體積最大值
2723 

重做的時候發現第五題也可以用向量來作
因為AC是直徑，所以
ACAB=AB2
以及
ACAD=AD2
就會得到
23AB2+25ABAD=AB2
23ABAD+25AD2=AD2
整理得
ABAD=−51AB2=−AD2

又AC=2得到
4=49AB2+215ABAD+425AD2
令AD2=K
則AB2=5KABAD=−K
4=10KK=52
於是
BD2
=AD2−2ABAD+AB2
\displaystyle =8K=\frac{16}{5}
最後得到
\displaystyle BD=\frac{4\sqrt{5}}{5}