第2題
做了一個立方體模型就靈光一閃看出來了
基本上你去看一個立方體，最多只能看到三個面，這三個面有一個共同的頂點。
準此，意思就是其他三個面會被這三個面遮住，只要考慮這三個面的投影就好。
而且總投影面積，就是這三個面分別投影的面積。
假設這三個面分別是A、B、C
他們的面積都是
a2
設
、
、
分別是A、B、C所在平面和投影面的銳夾角，那麼有投影面積
A
=Acos、B=Bcos、C=Ccos
所求為
A+B+C的最大值。
假設A、B、C所在平面分別是三個坐標平面，投影面為px+qy+rz+s=0
那麼
、、就會是(p,q,r)的方向角，所以有
cos2+cos2+cos2=1
於是由柯西不等式
(cos2+cos2+cos2)(1+1+1)
(cos+cos+cos)2
所以最大陰影面積為
3a2
由上討論，知道如果長方體長寬高各為a,b,c
令A=bc,B=ac,C=ab
由柯西不等式
\displaystyle (\cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\cos^2{\gamma})(b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2) \ge (bc\cos{\alpha}+ac\cos{\beta}+ab\cos{\gamma})^2
最大陰影面積為
\displaystyle \sqrt{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2} 
