7. 不太聰明的方法，可能也有一點敘述不清，還請指教
考慮 \(x<0\) 的情況，兩圖形要有3交點
首先畫圖易知\(f(0)=6a^2-8<0\)，即\(\displaystyle a^2<\frac{4}{3}\)
又因為\(f(x)\)必定通過原點，所以只要滿足上述條件並且保證讓f(x)與\(y=x+2\)有非相切的交點即可
考慮\(f(x)=x^3-3a^2x\) 與 \(g(x)=x+2\)需要有兩個交點

\(x^3-(3a^2+1)x\) 的極大值為\(\displaystyle \frac{2(3a^2+1)\sqrt{3a^2+1}}{3\sqrt{3}}<2\)
解得\(\displaystyle a^2>\frac{2}{3}\)
故\(\displaystyle\frac{2}{3}<a^2<\frac{4}{3}\) ，所以\(\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}<a<\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

11.設\(g(x)=f(x+2)-2\)，\(h(x)=f(2x+1)\)
因為\(g(x)\)為奇函數，可以得到\(f(x+2)+f(-x+2)=4\)
因為\(h(x)\)為偶函數，可以得到\(f(2x+1)=f(-2x+1)\)

由奇函數的條件，有
\(f(2)=f(0)\)
\(f(3)=f(-1)\)
\(f(4)=f(-2)\)...
由偶函數的條件
\(f(3)+f(1)=4\)
\(f(4)+f(0)=4 \Rightarrow f(4)+f(2)=4\)
\(f(5)+f(-1)=4 \Rightarrow f(5)+f(3)=4\)

因此\(f(1),f(2)\cdots f(2025)\)每四個一組為一循環
\(f(1)=0,f(2)=2,f(3)=4,f(4)=2 \cdots f(2025)=0\)
為\(8\times 506=4048\)

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觀察到\(x+1-x=1\)
推測應該是用琴生不等式
因為\(\displaystyle f(x)=\frac{sin(\pi x)}{x^2}\)在\(0<x<1\)為凹口向上
根據琴生不等式
可得\(\displaystyle \frac{f(a)+f(b)}{2}\geq f(\frac{a+b}{2})\)
所求\(\displaystyle \geq f(\frac{1}{2})=\frac{1}{8}\)
等號成立在\(a=b\)的時候

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-10 23:28 編輯 ]

計算第2題
直線方程式 \(x+2y=1\)
\(\displaystyle (x_n,y_n)=(3+(-2)^n,-1+(-2)^{n-1})\)

計算第3題
令\(\displaystyle A=\frac{x}{2},B=\frac{y}{2}\)
有\(\displaystyle log A \times log B=\frac{17}{36}\)
且\(log A+log B=3\)，設\(log A\) 為較大的根
計算出\( 2.8< log A <2.9 \Rightarrow 3.1<log x <3.2\)
因此\(x\)為4位數

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-10 23:31 編輯 ]