2. 蠻經典的考題，考古題是符號
由底下兩式整理出\( 13(x-13)+17(y-17)+11(z-11)=0,43(x-13)+47(y-17)+41(z-11)=0\)

\( x-13:y-17:z-11=3 : (-1) : (-2) \Rightarrow x=13+3r,y=17-r,z=11-2r \)，代回第一式解出\(r=3\)

\((x,y,z)=(22,14,5)\)

3. 分項對消 \(\displaystyle \frac{1}{n^2(n+1)}=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n(n+1)}\)

5.\(\displaystyle F'(x)=\frac{3x^2}{\sqrt{1-x^6}}\)

13.今年出現好多次了 \(\displaystyle (\frac{10}{11}+1)\times 10 =\frac{210}{11}\)

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計算2
以下為硬爆做法，還請各位老師指教
由\(\displaystyle P(X=k)>P(x=k+1),P(X=k)>P(X=k-1)\)

列出式子如下
\(\displaystyle (r-k)(m-k)<(k+1)(n-r+k+1) \Rightarrow \displaystyle k>\frac{rm+r-n-1}{m+n+2}\)

\(\displaystyle k(n-r+k)<(m-k+1)(r-k+1) \Rightarrow \displaystyle k<\frac{(m+1)(r+1)}{m+n+2}\)


可得\(\displaystyle   \frac{rm+r-n-1}{m+n+2}<k<\frac{(m+1)(r+1)}{m+n+2}\)

且\(\displaystyle \frac{(m+1)(r+1)}{m+n+2}-\frac{rm+r-n-1}{m+n+2}=1\)

因此若\(\displaystyle \frac{(m+1)(r+1)}{m+n+2}\notin \mathbb{N}\)

\(\displaystyle k=[\frac{(m+1)(r+1)}{m+n+2}]\)

計算3

證明對於任意的\(a_n , n\in \mathbb{N}\)皆有界，令\(a_n \leq2\)

設\(n=k\)時，\(a_k\leq2\)成立

則\(\displaystyle a_{k+1}\leq \frac{-3+\sqrt{25+4a_n}}{2}\leq\frac{-3+\sqrt{33}}{2}\leq 2\)

由數學歸納法，原命題成立



證明數列為遞增，即\(a_{n+1}>a_{n}\)

設\(n=1,.2,3.\cdots k\)時，\(a_{n+1}>a_{n}\)皆成立

則\(\displaystyle a_{k+2}-a_{k+1}= \sqrt{25+4a_{k+1}}-\sqrt{25+4a_k}=\displaystyle \frac{4(a_{k+1}-a_k)}{\sqrt{25+4a_{k+1}}+\sqrt{25+4a_k}}>0\)

由數學歸納法，原命題成立

因為該數列遞增且有界，故收斂

設收斂值為\(a\)

有\(a^2+3a-4= a \Rightarrow a = \displaystyle -1+\sqrt{5}\)

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